函数f（x）=alnx+x，对任意的x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥0恒成立，则a的范围为（　　）

函数f（x）=alnx+x，对任意的x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥0恒成立，则a的范围为（　　）

A．[-1， 1 e ]

B．[ 1 e ，1]

C．[-e， 1 e ]

D．[-1，1]

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的x∈[

1

e

， e]，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（注：e为自然对数的底数．）

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的x∈[

1

e

， e]，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（注：e为自然对数的底数．）

（2013•青岛一模）若任意直线l过点F（0，1），且与函数f(x)=

1

4

x2的图象C于两个不同的点A，B过点A，BC，两切线交于点M
（Ⅰ）证明：点M纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x），g（x）=alnx（a＞0），求实数a取值范围；
（Ⅲ）求证：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

，（其中e自然对数的底数，n≥2，n∈N）．