设M=(a+1)(a2+

a

2

+1)，N=(a+

1

2

)(a2+a+1)，则M与N的大小关系是（　　）

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不确定

设函数f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=2时，对任意的正整数n，在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上总有m+4个数使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试问：正整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

（2012•安徽模拟）椭圆E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆(x+

c

)

2

+(y+2

)

2

=1相切，且与椭圆E交于A，B两点，且|AB|=

16

5

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设M为椭圆E上一动点，点N（0，2

3

），求|

MN

|的最大值．

设函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，对任意的正整数n，在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上总有m+4个数使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试求正整数m的最大值．

等差数列{a}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S5=a32．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，设T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，求实数M、m的取值范围；
（3）试构造一个函数g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且对任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-

3

，0)，而且过点H(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．