Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，对任意的正整数n，在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上总有m+4个数使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试求正整数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，进而可求f（x）的极值；
（2）求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（3）当a=2时，f(x)=

1

x

+4x，f′(x)=

4x2-1

x2

，求出函数的最值，问题转化为mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)恒成立．
令k=6+n+

1

n

≥8，且f（k）在[6+n+

1

n

，+∞)上单调递增，由此可求正整数m的最大值．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=0时，f(x)=2lnx+

1

x

，∴f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

．…（2分）
由f'（x）=0得x=

1

2

．
f（x），f'（x）随x变化如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f（x）	-	0	+
f'（x）	↘	极小值	↙

故，f(x)极小值=f(

1

2

)=2-2ln2，没有极大值．…（4分）
（2）由题意，f′(x)=

2ax2+(2-a)x-1

x2

令f'（x）=0得x1=-

1

a

，x2=

1

2

．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈(0，

1

2

]；由f'（x）≥0得x∈[

1

2

，+∞)．…（7分）
若a＜0，①当a＜-2时，-

1

a

＜

1

2

，x∈(0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞)，f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0，
②当a=-2时，f'（x）≤0
③当-2＜a＜0时，-

1

a

＞

1

2

，x∈(0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞)，f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为(0，

1

2

]，单调递增区间为[

1

2

，+∞)；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为(0，-

1

a

]，[

1

2

，+∞)，单调递增区间为[-

1

a

，

1

2

]；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为(0，

1

2

]，[-

1

a

，+∞)，单调递增区间为[-

1

2

，-

1

a

]…（10分）
（3）当a=2时，f(x)=

1

x

+4x，f′(x)=

4x2-1

x2

．
∵x∈[

1

2

，6+n+

1

n

]，∴f'（x）≥0
∴f(x)min=f(

1

2

)=4，f(x)max=f(6+n+

1

n

)．…（12分）
由题意，mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)恒成立．
令k=6+n+

1

n

≥8，且f（k）在[6+n+

1

n

，+∞)上单调递增，
∴fmin(k)=32

1

8

，因此m＜32

1

8

，而m是正整数，故m≤32，
所以，m=32时，存在a1=a2=…=a32=

1

2

，a_m+1=a_m+2=a_m+2=a_m+4=8时，对所有n满足题意，∴m_max=32．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导是关键．