如果 f(

1

x

)=

x

1-x

，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（　　）

A． 1 x

B． 1 x-1

C． 1 1-x

D． 1 x -1

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．