当x₁≠x₂时，有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（　　）

当x₁≠x₂时，有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（　　）

A．y=x

B．y=|x|

C．y=x2

D．y=log2x

当x₁≠x₂时，有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（　　）

A．y=x

B．y=|x|

C．y=x2

D．y=log2x

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

如果在（a，b）（a＜b）上的函数f（x），对于?x₁，x₂∈（a，b）都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（x₁≠x₂），则称f（x）在（a．b）上是凹函数，设f（x）在（a，b）上可导，其函数f′（x）在（a，b）上也可导，并记[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，证明：f（x）在（a，b）上是凹函数
（2）若f（x）=（x²-2ax-a+a²）e^x-lnx，用（1）的结论证明：当a＜-2时f（x）在（0，+∞）上是凹函数．

定义在R上的函数，对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
（2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

定义在R上的函数，对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
（2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．