如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；
（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．