2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在区间为(　　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．

(1)证明：

当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则

f(a)=(b+c)a+bc+1．

当b+c=0时，即b=-c，　　 f(a)=bc+1=-c2+1．

因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，　 f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。

例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3＜-3+9+2得

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识

在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．

例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1}中所含元素的个数是．(　　 )

A．0　 　　　B．1　　　 C．0或1　　　 D．1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．

4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．

本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．

难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．

2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．

1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．

3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．

具体要求是：

2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．

函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:

1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．

(二)函数的图象

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

1．作函数图象的一个基本方法

例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x+1)；(2)y=10|lgx|．

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)

(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10^lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)

说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．

在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．

2．作函数图象的另一个基本方法--图象变换法．

一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．

在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．

(1)平移变换

函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；

函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．

(2)伸缩变换

函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．

函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上

而得到．

(3)对称变换

函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．

函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．

函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．

函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。

函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．

函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．

例8．已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x +100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得

求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2．

说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．