4．带有限制条件的排列问题的解题思想方法：

同步练习　　 　　　10.1 计数原理 排列

[选择题]

3．正确理解排列的定义,掌握排列为公式：不仅与元素的异同有关，还与排放的位置、顺序有关。

2.正确区分两个原理：分类问题中，按一类中的每一种方法，做完后这件事就完成了；而分步问题中，必须把每一步都做完才算完成这件事。

1.分类计数原理和分步计数原理; 是解决排列、组合问题的算法基础.

[例1]从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=2⁵=32.

提炼方法：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.

[例2]二次函数y=ax²+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

　解:由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部f(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax²+bx+c来讲，原点在其内部af(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=144条

[例3]有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?

(1)甲不在中间,乙必在两端；

(2)甲不在左端,乙不在右端；

(3)男、女生分别排在一起；

(4)男女相间；

(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.

解：(1)优先安排特殊元素.乙的站法有2种,甲的站法有7种,其余随便站,共有:

=70560种

(2)按甲在不在右端分类分类讨论.

甲站右端的有:种;甲不在右端的有:种;

共有: +==287280种

(3)(捆绑法)A·A·A=5760种.

(4)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A=2880种排法.

(5)方法一：(机会均等法)9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法.

方法二：C·A=60480种.

提炼方法：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、机会均等法、插空法等常见的解题思路.

[例4]用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数

(1)共有几个三位数?

(2)求所有三位数的和;

(3)能被4整除的三位数有多少？

(4)比5231大的四位数有多少？

解：(1) 百位不能为 “0”,因此共有个;

(2)考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:

(3)只需考虑个,十两位能被4整除.,这两位能被4整除的数(含04,08)共有24个;

①含0的数有04、08、20、40、60、80,可组成能被4整除的三位数：6×8=48个

②不含0，且不重复数字的两位数有24-6-2=16个，可组成能被4整除的三位数：16×8=128个；

综上知，共可组成能被4整除的三位数：48+128=176个；

(4)①千位上为9,8,7,6的四位数各有A₉³个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有A₈²个; ③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有A₇¹个; ④千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有

N=4A₉³+6A₈²+5A₇¹+5=2392种。

[研讨.欣赏]8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?

解：先排去掉A、B、C外的5个人，有A种，

再排A、B、C 三人，有A₆³种.

故有A₅⁵·A₆³种(含D、E相邻).

其中D、E相邻的有A₂²·A₄⁴·A₅³种.

∴满足条件的排法种数为A₅⁵·A₆³－A₂²·A₄⁴·A₅³=11520.

8．(2006湖北)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是_____________.(用数字作答)

◆例题简答:1-3.DAC; 1.六位时，可装9×10⁵部，七位时9×10⁶.∴可增加9×10⁶－9×10⁵=81×10⁵.答案：D;　 　2.A÷A=504.答案：A;　 3. A，A，…中个位数字均为0，…； 4. 192; 5. 48;　 6. 2A·A=1152种;　 7. x=6或13(舍)。8. 20.

7.解方程正整数x=______

6.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.

5．(2006春上海) 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有　　　　 种不同的播放方式(结果用数值表示).

4.(2005全国II)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有　　　　　 个.