20.(16分)已知定点C(-1，0)及椭圆x²+3y²=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.

(1)若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；

(2)在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解　 (1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x²+3y²=5,

消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由线段AB中点的横坐标是-，

得=-=-,解得k=±，适合①.

所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.

(2)假设在x轴上存在点M(m，0)，使·为常数.

(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知

x₁+x₂=-,x₁x₂=.　　　　　　　　 ③

所以·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m².

将③代入，整理得

·=+m²

=+m²

=m²+2m--.

注意到·是与k无关的常数，从而有

6m+14=0，m=-，此时·=.

(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，

此时点A，B的坐标分别为

、，

当m=-时，亦有·=.

综上，在x轴上存在定点M，使·为常数.

19.(2008·海南(宁夏)理，20)(16分)在直角坐标系xOy中,椭圆C₁: =1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂.F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=.

(1)求C₁的方程；

(2)平面上的点N满足=+，直线l∥MN，且与C₁交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.

解　 (1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),

设M(x₁,y₁),M在C₂上,

因为|MF₂|=,所以x₁+1=,

得x₁=,y₁=.所以M.

M在C₁上,且椭圆C₁的半焦距c=1,

于是

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.

解得a=2(a=不合题意,舍去).

故b²=4-1=3.

故椭圆C₁的方程为.

(2)由=+,知四边形MF₁NF₂是平行四边形,其中心为坐标原点O,

因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同.

故l的斜率k==.

设l的方程为y=(x-m).

由消去y并整理得

9x²-16mx+8m²-4=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=.

因为⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.

所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)

=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²

=7·-6m·+6m²

=(14m²-28)=0.

所以m=±.此时Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.

故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.

18.(16分)过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

解　 设椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程，整理得

(k²a²+b²)x²-2k²a²x+a²k²-a²b²=0.

因为直线l与C交于A、B两点

∴Δ=4k⁴a⁴-4(a²k²-a²b²)(k²a²+b²)＞0.

即k²a²-k²+b²＞0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

当Δ＞0时，设直线l与椭圆C的交点为

A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB中点为M(x₀,y₀),则

x₀=(x₁+x₂)=

∴y₀=(y₁+y₂)= ［k(x₁-1)+k(x₂-1)］

=-.

∵M(x₀,y₀)在直线y=x上，

∴-=·,

∴k=-.又=1-e²=1-=,

∴k=-=-1.

因此直线l的方程为y=-x+1.

∵a²=2b²，∴椭圆C的方程为=1，其右焦点为(b，0)，设(b，0)点关于直线y=-x+1的对称点为(x′,y′),

则.

因为点(1,1-b)在椭圆上.

∴1+2(1-b)²=2b²，解得b²=.

把b²=,a²=,k²=1代入①式，得Δ＞0.

∴b²=，a²=.

∴椭圆C的方程为=1,

直线l的方程为y=-x+1.

17.(14分)已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A,虚轴的上端点是B，·=6-4，∠BAF=150°.

(1)求双曲线的方程；

(2)设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若+2=0，求直线l的斜率.

解　 (1)由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)

·=(-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

=-=cos150°=-.

∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.

∴a=,b²=c²-a²=2,故双曲线的方程为.

(2)∵点F的坐标为(2，0).

∴可设直线l的方程为y=k(x-2),

令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)

设Q(m,n)，则由+2=0得

(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).

即(4-m,2k-n)=(0,0).

即，∵.

∴=1，得k²=，k=±.

16.(14分)已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解　 (1)(x-1)²+(y-2)²=5-m,∴m＜5.

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，

则x₁x₂=16-8(y₁+y₂)+4y₁y₂

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴16-8(y₁+y₂)+5y₁y₂=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由

得5y²-16y+m+8=0

∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.

(3)以MN为直径的圆的方程为

(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0

∴所求圆的方程为x²+y²-x-y=0.

15.(14分)过点M(0，1)作直线，使它被直线l₁:x-3y+10=0和l₂:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.

解　 方法一　 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点

M(0，1)的条件.

故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l₁,l₂分别交于A、B两点，联立方程组

　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①解得x_A=,由②解得x_B=.　　　　　　　　　

∵点M平分线段AB，

∴x_A+x_B=2x_M，即+=0.

解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.

方法二　 设所求直线与已知直线l₁,l₂分别交于A、B两点.

∵点B在直线l₂:2x+y-8=0上，

故可设B(t,8-2t),M(0,1)是AB的中点.

由中点坐标公式得A(-t,2t-6).

∵A点在直线l₁:x-3y+10=0上，

∴(-t)-3(2t-6)+10=0，解得t=4.

∴B(4，0)，A(-4，2)，故所求直线方程为x+4y-4=0.

14.已知两点A(1，0)，B(b,0)，若抛物线y²=4x上存在点C使△ABC为等边三角形，则b=　　　　 .

答案　 5或-

13.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆=1上，则=　　 .

答案　

12.已知F₁、F₂为椭圆=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点.若|F₂A|+|F₂B|=12，则|AB|=　　　 .

答案　 8

11.(2009·东海高级中学高三调研)两个正数m,n的等差中项是5，等比中项是4，若m＞n,则椭圆=1的离心率e的大小为　　　　　 .

答案