2. 直流电路的动态变化引起的功能及图象问题

例2. 用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻，伏安图象如图所示，根据图线回答：

(1)干电池的电动势和内电阻各多大？

(2)图线上a点对应的外电路电阻是多大？电源此时内部热耗功率是多少？

(3)图线上a、b两点对应的外电路电阻之比是多大？对应的输出功率之比是多大？

(4)在此实验中，电源最大输出功率是多大？

图2

解析：

(1)开路时(I=0)的路端电压即电源电动势，因此，内电阻

也可由图线斜率的绝对值即内阻，有：

(2)a点对应外电阻

此时电源内部的热耗功率：

也可以由面积差求得：

(3)电阻之比：

输出功率之比：

(4)电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时，此时路端电压，干路电流，因而最大输出功率

当然直接用计算或由对称性找乘积IU(对应于图线上的面积)的最大值，也可以求出此值。

评点：利用题目给予图象回答问题，首先应识图(从对应值、斜率、截矩、面积、横纵坐标代表的物理量等)，理解图象的物理意义及描述的物理过程：由U-I图象知E=1.5V，斜率表内阻，外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值；当电源内外电阻相等时，电源输出功率最大。

1. 直流电路的动态变化引起的电表读数变化问题

例1. 如图1所示电路中，当滑动变阻器的滑片P向左移动时，各表(各电表内阻对电路的影响均不考虑)的示数如何变化？为什么？

图1

解析：这是一个由局部变化而影响整体的闭合电路欧姆定律应用的动态分析问题。对于这类问题，可遵循以下步骤：先弄清楚外电路的串、并联关系，分析外电路总电阻怎样变化；由确定闭合电路的电流强度如何变化；再由确定路端电压的变化情况；最后用部分电路的欧姆定律及分流、分压原理讨论各部分电阻的电流、电压变化情况。

当滑片P向左滑动，减小，即减小，根据判断总电流增大，A₁示数增大；

路端电压的判断由内而外，根据知路端电压减小，V示数减小；

对R₁，有所以增大，示数增大；

对并联支路，，所以减小，示数减小；

对R₂，有，所以I₂减小，A₂示数减小。

评点：从本题分析可以看出，在闭合电路中，只要外电路中的某一电阻发生变化，这时除电源电动势、内电阻和外电路中的定值电阻不变外，其他的如干路中的电流及各支路的电流、电压的分配，从而引起功率的分配等都和原来的不同，可谓“牵一发而动全身”，要注意电路中各量的同体、同时对应关系，因此要当作一个新的电路来分析。解题思路为局部电路→整体电路→局部电路，原则为不变应万变(先处理不变量再判断变化量)。

2. (2005年南通调研)如图6所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d₀。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计)。求：

图6

(1)棒ab在离开磁场右边界时的速度；

(2)棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；

(3)试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。

解析：(1)ab棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为v_m，则有：

对ab棒＝0，解得

(2)由能量守恒可得：

解得：

(3)设棒刚进入磁场时速度为v由：

棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：

①若(或)，则棒做匀速直线运动；

②若(或)，则棒先加速后匀速；

③若(或)，则棒先减速后匀速。

例4. (2005年肇庆市模拟)如图4所示，边长为L＝2m的正方形导线框ABCD和一金属棒MN由粗细相同的同种材料制成，每米长电阻为R₀＝1/m，以导线框两条对角线交点O为圆心，半径r＝0.5m的匀强磁场区域的磁感应强度为B＝0.5T，方向垂直纸面向里且垂直于导线框所在平面，金属棒MN与导线框接触良好且与对角线AC平行放置于导线框上。若棒以v＝4m/s的速度沿垂直于AC方向向右匀速运动，当运动至AC位置时，求(计算结果保留二位有效数字)：

图4

(1)棒MN上通过的电流强度大小和方向；

(2)棒MN所受安培力的大小和方向。

解析：(1)棒MN运动至AC位置时，棒上感应电动势为

线路总电阻。

MN棒上的电流

将数值代入上述式子可得：

I＝0.41A，电流方向：N→M

(2)棒MN所受的安培力：

方向垂直AC向左。

说明：要特别注意公式E＝BLv中的L为切割磁感线的有效长度，即在磁场中与速度方向垂直的导线长度。

［模型要点］

(1)力电角度：与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

(2)电学角度：判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)→利用或求感应电动势的大小→利用右手定则或楞次定律判断电流方向→分析电路结构→画等效电路图。

(3)力能角度：电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

［误区点拨］

正确应答导体棒相关量(速度、加速度、功率等)最大、最小等极值问题的关键是从力电角度分析导体单棒运动过程；而对于处理空间距离时很多同学总想到动能定律，但对于导体单棒问题我们还可以更多的考虑动量定理。所以解答导体单棒问题一般是抓住力是改变物体运动状态的原因，通过分析受力，结合运动过程，知道加速度和速度的关系，结合动量定理、能量守恒就能解决。

［模型演练］

1. (2005年大联考)如图5所示，足够长金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上。质量为m的金属杆ab可以无摩擦地沿导轨运动。导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。现给金属杆ab一个瞬时冲量I₀，使ab杆向右滑行。

图5

(1)回路最大电流是多少？

(2)当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？

(3)杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？

答案：(1)由动量定理得

由题可知金属杆作减速运动，刚开始有最大速度时有最大，所以回路最大电流：

(2)设此时杆的速度为v，由动能定理有：

而Q＝

解之

由牛顿第二定律及闭合电路欧姆定律

得

(3)对全过程应用动量定理有：

而所以有

又

其中x为杆滑行的距离所以有。

例3. (2005年上海高考)如图3所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成＝37°角，下端连接阻值为R的电阻。匀速磁场方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

图3

(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；

(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小；

(3)在上问中，若R＝，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向。(g＝10m/s²，°＝0.6，cos37°＝0.8)

解析：(1)金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律

　 ①

由①式解得　 　②

(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡：

　 ③

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率

　 ④

由③、④两式解得：

　 ⑤

(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B

　 ⑥

　 ⑦

由⑥、⑦两式解得　 　⑧

磁场方向垂直导轨平面向上。

例2. (2005年南京市金陵中学质量检测)如图2甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。ab棒的电阻为R＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。开始时，磁感应强度。

图2

(1)若保持磁感应强度的大小不变，从t＝0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化关系如图2乙所示。求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力。

(2)若从t＝0开始，使磁感应强度的大小从B₀开始使其以＝0.20T/s的变化率均匀增加。求经过多长时间ab棒开始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方向如何？(ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)

解析：(1)当t＝0时，

当t＝2s时，F₂＝8N

联立以上式得：

(2)当时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有：

则

例1. (2005年河南省实验中学预测题)如图1所示，，电压表与电流表的量程分别为0-10V和0-3A，电表均为理想电表。导体棒ab与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。

图1

(1)当变阻器R接入电路的阻值调到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度是多少？

(2)当变阻器R接入电路的阻值调到，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F₂是多大？

解析：(1)假设电流表指针满偏，即I＝3A，那么此时电压表的示数为U＝＝15V，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。因此，应该是电压表正好达到满偏。

当电压表满偏时，即U₁＝10V，此时电流表示数为

设a、b棒稳定时的速度为，产生的感应电动势为E₁，则E₁＝BLv₁，且E₁＝I₁(R₁+R_并)＝20V

a、b棒受到的安培力为

F₁＝BIL＝40N

解得

(2)利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I₂＝3A，此时电压表的示数为＝6V可以安全使用，符合题意。

由F＝BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以

。

2. (上海徐汇区诊断)如图7所示，质量分别为M和m(M>m)的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求：

(1)m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。

(2)m到达A点时，对圆柱体的压力。

图7

答案：(1)

(2)

例3. 如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

图3

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零(此时小球下降的距离最大为h)，如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。

图4

因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为。

考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即。

从而解得

[模型要点]

“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律，也可采用转化法求解。

[误区点拨]

注意“死杆”和“活杆”问题。

如：(2006年无锡统考)如图(a)轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M₁的物体。∠ACB=30°；图(b)中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M₂的物体，求细绳AC段的张力F_TAC与细绳EG的张力F_TEG之比？

图5

解析：图(a)中绳AC段的拉力F_TAC＝M₁g

图(b)中由于F_TEGsin30°=M₂g，解得：

[模型演练]

1. 在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m₁和m₂，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是(　　 )

A. 可以大于

B. 必定大于

C. 必定等于

D. 与必定相等

答案：C

图6

例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子(质量不计)，带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s²向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？

图2

解析：设车静止时AC长为，当小车以向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为F_T，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为，BC长为

由几何关系得

由牛顿运动定律建立方程：

代入数据求得

说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。