1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？(、)

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

例1、(2000年全国高考题)椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F₁(－,0)F₂(,0),设P(3cos,2sin)

为钝角

∴ 　

　　 =9cos²－5+4sin²=5 cos²－1<0

　　 解得：　 ∴点P横坐标的取值范围是()

点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)²+(y-4)²=4上的一动点，求的最大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：

又由中点公式得

所以

　　　　　　 =

　　　　　　 =

　　　　　　 =

又因为 点P在圆(x-3)²+(y-4)²=4上,　　　　　　　　　　　　　 　　　　

所以　 且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以

即　 故

所以的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、(2003年天津高考题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的(　 )

(A)外心　　　 (B)内心　　 (C)重心　　 (D)垂心

分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线(射线)同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

(1)　　　 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量；

(2)　　　 求出角平分线的方向向量

(3)　　　 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P()，其方向向量为，其方程为}

例4、(2003年天津)已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

(本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.)

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵，　 ∴=(λ，a)，=(1，－2λa).

因此，直线OP和AP的方程分别为　 　和 .

消去参数λ，得点的坐标满足方程.

整理得　 ……①　　　 因为所以得：

(i)当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 (ii)当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：

在△OAP中，O(0，0)、A(0，a)为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。

而课本上有一道习题(数学第二册(上)第96页练习题4)：

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)、(6，0)，边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。

例5．(2004年天津卷理22)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)()的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

　 (1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若，求直线PQ的方程；

(3)设()，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

(1)解：由题意，可设椭圆的方程为.

　 由已知得解得

所以椭圆的方程为，离心率.

(2)解：由(1)可得A(3，0).

设直线PQ的方程为.由方程组

　　　 得

依题意，得.

设，则，　 ① .　　 ②

由直线PQ的方程得.于是

.　　 ③

∵，∴.　　 ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

(2)证明：.由已知得方程组

　 注意，解得

因，故

.

而，所以.

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

4.(天津卷20)(本小题满分12分) 已知函数在处取得极值。

(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；

(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。

(江苏卷10)函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　 (　 )

(A)1，-1　　　　 (B)1，-17　　　 (C)3，-17　　　 (D)9，-19

(浙江卷11)设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A)　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

(浙江卷20)设曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函数)为增函数的区间是

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

2．(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

1．(全国卷10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数(　 )

　　 A ()　　　　 B (π,2π)　　　　 C ()　　　　 D (2π,3π)

例1．　 在处可导，则　　　 　　　

思路：　 在处可导，必连续　　 　　　　∴

　　 　　∴ 　　

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

　(1)；　 (2)

　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。

　解：(1)

　(2)

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。

例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若为偶函数　　 　　令

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

　　 另证：

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

例4．(1)求曲线在点(1，1)处的切线方程；

　(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度。

　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

　解：(1)，

　，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0

　因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1

　(2)

　。

例5． 求下列函数单调区间

(1)　　　 (2)

(3) 　　　　　　　　(4)

解：(1) 　时

　　 ∴ ，

(2)　 ∴ ，

(3)　

∴ 　　　

∴ ，　 ，

(4)　 定义域为

例6．求证下列不等式

(1)

(2)

(3)

证：(1) 　

∴ 为上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　　　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

例7．利用导数求和：

　(1)；

　(2)。

　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。

　解：(1)当x=1时，

　；

　当x≠1时，

　∵，

　两边都是关于x的函数，求导得

　即

　(2)∵，

　两边都是关于x的函数，求导得。

　令x=1得

　，

　即。

例8．设，求函数的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.

解：.

当时　 .

(i)当时，对所有，有.

即，此时在内单调递增.

(ii)当时，对，有，

即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，

函数在(0，+)内单调递增

(iii)当时，令，即.

解得.

因此，函数在区间内单调递增，在区间

内也单调递增.

令，解得.

因此，函数在区间内单调递减.

　例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。

　(1)求A、B两点的坐标； (2)求直线与的夹角。

　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。

　解　 (1)由方程组

　　　 解得 A(-2，0)，B(3，5)

　(2)由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，

　　　　 所以

　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。

例10．(2001年天津卷)设，是上的偶函数。

(I)求的值；　 (II)证明在上是增函数。

解：(I)依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，

由此得到，，　　 又∵，∴。

(II)证明：由，得，

当时，有，此时。∴在上是增函数。

4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：

(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。

也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解--求导--回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。