1．(2010·葫芦岛模拟)下列各组离子在指定环境下能大量共存的是(　　 )。

　 A．pH＝1的溶液中：Na⁺、S^2－、K⁺、MnO₄^－

　 B．pH＝7的溶液中：Al³⁺、Cl^－、SO₄^2－、HCO₃^－

　 C．pH＞7的溶液中：Na⁺、AlO₂^－、SO₄^2－、K⁺

　 D．pH＝0的溶液中：Na⁺、K⁺、Fe²⁺、ClO^－

[解析]选C。pH＝1的溶液呈强酸性，故S^2－不能存在，且在酸性条件下，MnO₄^－ 具有强氧化性也能氧化S^2－；Al³⁺与HCO₃^－相互促进水解而不能大量共存；pH＝0时，溶液呈强酸性，ClO^－具有强氧化性，能把Fe²⁺氧化成Fe³⁺。

⒈　一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4

证明：∵　，V+F－E＝2

∴V+F－＝2　∴F＝2V－4

⒉　设一个凸多面体有V个顶点，

求证：它的各面多边形的内角和为(V-2)·360°

解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点

将其下底面剪掉，抻成平面图形则

V上·360°+(V下－2)·180°+(V下－2)·180°

＝(V上+V下－2)·360°

＝(V－2)360°

⒊　有没有棱数是7的简单多面体？说明理由

证明：∵V+F－E＝2　，　∴V+F＝7+2＝9

∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4

但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，

有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，

∴没有棱数是7的简单多面体

⒋　是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边

证明：设有一个多面体，有F(奇数)个面，并且每个面的边数

也都是奇数，则

但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的

∴不存在这样的多面体

例1 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种

证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，

令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数　 (1)

　 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数　 (2)

由(1)(2)得：，代入欧拉公式：．

∴　　　 (3)，

∵又，，但，不能同时大于，

(若，，则有，即这是不可能的)

∴，中至少有一个等于．令，则，

∴，∴，∴．

同样若可得．

例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：

1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目

解：设分子中有五边形个，六边形个

分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：　 (1)，

另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得　 (2)，由(1)(2)得：，

∴分子中五边形有12个，六边形有20个

例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数

解：由题意设每一个面的边数为,则，

∴，

∵，∴,

将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,

则，得,即(1),

∵，∴,又，

∴的可能取值为，,,

当或时(1)中无整数解；

当,由(1)得,

∴, ∴，

综上可知:，，.

4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数

说明：(1)简单多面体的欧拉示性数．

(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体

3．欧拉定理(欧拉公式)：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：

．

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

正多面体	顶点数	面数	棱数
正四面体	4	4	6
正六面体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12	30
正二十面体	12	20	30

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续(不破裂)变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

21、已知函数, 其中常数a，b∈R , 且是奇函数.

(Ⅰ)求的表达式；(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.

江西省莲塘一中2010-2011学年上学期高三年级第一次统考

20、设函数，，，且以为最小正周期．

(1)求；(2)求的解析式；(3)已知，求的值．

19、已知函数的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为。

(1)求的解析式,　 (2)当