5.若函数f(x)=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　　 　　　　　　　　　

A. (-2，2)?　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　 C.(-∞,-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(1,+ ∞)

答案?A　

4.f(x)=的零点个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0

答案?A

3.设函数y=x³与y=(^x-2的图象交点为(x₀,y₀)，则x₀所在的区间是　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )　　　　　　　　　 　　　　　　　　

A.(0,1)　　　　　　　　　　　　 　　　　B. (1,2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.(2，3)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(3,4)

答案?B

2.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是　　　　　　　　　　 (　　 )　　　 　　　　　　　　

A.①②　　　　B.①③　　　　　C.①④　　　　　D.③④

答案?B?　

1.下列函数中在区间［1，2］上有零点的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　 　　　　　　　　

A.f(x)=3x²-4x+5　 　　　　　　　　　　　　　　B.f(x)=x³-5x-5　

　C.f(x)=mx-3x+6? 　　　　　　　　　　　　　　D.f(x)=e^x+3x-6　

答案?D　

4.利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解.(精确到0.1)

解　 如图，由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x₁，

并且这个解在区间(2，3)内.　

设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得：　

f(2)<0，f(3)>0x₁∈(2,3)　

f(2.5)<0,f(3)>0x₁∈(2.5,3)

f(2.5)<0,f(2.75)>0x₁∈(2.5,2.75)，　

f(2.5)<0,f(2.625)>0x₁∈(2.5,2.625)，　

f(2.562 5)<0,f(2.625)>0x₁∈(2.562 5,2.625).　

因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为:x₁≈2.6.

3.已知函数f(x)=x²+(a²-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.　

解 方法一 设方程x²+(a²-1)x+(a-2)=0的两根分别为x₁,x₂ (x₁<x₂),

则(x₁-1)(x₂-1)<0,∴x₁·x₂-(x₁+x₂)+1<0,　

由韦达定理得(a-2)+(a²-1)+1<0,

即a²+a-2<0,∴-2<a<1.　

方法二　 函数的大致图象如图所示,　

则有f(1)<0,即1+(a²-1)+a-2<0,　

a²+a-2<0,∴-2<a<1.

2.已知函数f(x)=a^x+ (a>1),判断f(x)=0的根的个数.　

解　 设f₁(x)=a^x (a>1),f₂(x)=-,则f(x)=0的解即为f₁(x)=f₂(x)的解，即为函数f₁(x)与f₂(x)

图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f₁(x)=a^x(a>1)与f₂(x)=--1的图象

(如图所示).　

两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.

1.求下列函数的零点：　

(1)y=x³-7x+6;(2)y=x+-3.　

解(1)∵x³-7x+6=(x³-x)-(6x-6)　

=x(x²-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)　

=(x-1)(x²+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)　

解x³-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0　

可得x₁=-3,x₂=1,x₃=2.　

∴函数y=x³-7x+6的零点为-3,1,2.　

(2)∵x+　

解x+即=0,可得x=1或x=2.　

∴函数y=x+-3的零点为1，2.

5.若函数f(x)=2x²-ax+3有一个零点为，则f(1)=　　　　 .　

答案　 0　　

例1　 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.　

(1)f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］；　

(2)f(x)=x³-x-1,x∈［-1，2］；　

(3)f(x)=log₂(x+2)-x,x∈［1，3］.　

解(1)方法一　 因为f(1)=-20<0,f(8)=22>0，　

所以f(1)·f(8)<0，故f(x)=x²-3x-18，x∈［1，8］存在零点.　

方法二　 令x²-3x-18=0,解得x=-3或6,　

所以函数f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］存在零点.　

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,　

∴f(x)=x³-x-1，x∈［-1，2］存在零点.　

(3)∵f(1)=log₂(1+2)-1>log₂2-1=0.　

f(3)=log₂(3+2)-3<log₂8-3=0.∴f(1)·f(3)<0　

故f(x)=log₂(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.　

例2　 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.　

解　 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，

由图可知两图象只有一个交点，

故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.　

例3 (12分)(1)若函数f(x)=ax²-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；　

(2)若函数f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，求实数a的取值范围.　

解(1)若a=0，则f(x)=-x-1,　

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2分　

若a≠0，则f(x)=ax²-x-1是二次函数，　

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，　

解得a=-， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

综上所述a=0或a=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　6分　

(2)若f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，　

即|4x-x²|+a=0有四个根，即|4x-x²|=-a有四个根. 　　　　　8分　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.　

作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x²|=-a有四个根，　　　　　　　　　　　　

那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　10分

故需满足0<-a<4,即-4<a<0.　

∴a的取值范围是(-4,0).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　

例4 用二分法求函数f(x)=x³-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点(精确度0.1).

解 　由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,　

∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，

取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，　

用二分法逐次计算列表如下：　

l　　　　 端(中)点 l　　　　 坐标	l　　　　 中点函数值 l　　　　 符号	l　　　　 零点所在区间	l　　　　 |an-bn|
l	l	l	l　　　　 0.5
l　　　　 1.25	l　　　　 f(1.25)＜0	l	l　　　　 0.25
l　　　　 1.375	l　　　　 f(1.375)＞0	l	l　　　　 0.125
l　　　　 1.312 5	l　　　　 f(1.312 5)＜0	l	l　　　　 0．062 5

∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1，　

∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.