4.实数与向量的积

(1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向.

(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

3.向量的减法

(1)相反向量：

关于相反向量有：　 ①=；　 ②+()=()+=；

③若、是互为相反向量，则=,=,+=。

(2)向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

如上图表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)。

(3)温馨提示：①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。

②三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.

差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

2.向量加法:　 设，

(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角形法则”进行。

　如图 +==。 或 　+=

　规定：；　

(2) 向量加法满足交换律与结合律；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量.

可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。

(2)零向量：　　　　　　　　　　　　　 其方向：

(3)单位向量：　　　　　　　　　　　　 单位向量不唯一.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反方向相同或相反.

规定：与任意向量平行。

(5)相等向量：长度相等且方向相同.

1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念　　

2掌握向量的加法和减法

3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件 　　　

4．函数定义域为，当时，

令，解得，∴，

又，∴

说明：对于闭区间上的连续函数，如果在相应开区间内可导，求上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．

求两变量乘积的最大值

例　 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值．

分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量(x或y或其它变量)的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

设

当时，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函数的最大值为．

即的最大值为．

解法二：由得，

设，

∴，设，

则

令，得或．

，此时

∴

即当时，

说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．

3．．

令，即，解得

当时，，当时，．

∴函数在点处取得极小值，也是最小值为

即．

2．，令，得，

∴，

又．

∴

4．．

分析：函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．

解：1．，令，得，

∴．又

∴

3．