15. 指数、对数值的大小比较：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。

14.指数式、对数式：

，，，，，，，，，，， 。如(1)的值为________(答：8)；(2)的值为________(答：)

13. 函数的周期性。

(1)类比“三角函数图像”得：

①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；

②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；

③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；

如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根(答：5)

(2)由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：

①函数满足，则是周期为2的周期函数；

②若恒成立，则；

③若恒成立，则.

如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；(3)已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；(4)设是定义域为R的函数，且，又，则=　　　　　　 (答：)

12. 函数的对称性。

①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；

②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；

⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为

；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________(答：)；

⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点(-2，3)对称，则＝______(答：)

⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线

(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点(2，－3)对称，则a的值为______(答：2)

⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如(1)作出函数及的图象；(2)若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称 (答：轴)　

提醒：(1)从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；(3)证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上。如(1)已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形；(2)设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程(答：)；②证明曲线C与关于点对称。

11. 常见的图象变换

①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答： )

②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如(1)若，则函数的最小值为____(答：2)；(2)要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；(3)函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)

③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；

④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 　　　　　　　　　　(答：C)

⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；(2)如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．

⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.

10.函数的单调性。

(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法(取值--作差--变形--定号)、导数法(在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如(1)若函数 在区间(－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：))；(2)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____(答：)；(3)若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且))；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是________(答：(1,2))。

(2)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围(答：)；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小；②解不等式；③求参数范围).如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。(答：)

9.函数的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，

为奇函数，其中，则的值是　 (答：0)；

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：

①定义法：如判断函数的奇偶性____(答：奇函数)。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：或()。如判断的奇偶性___.(答：偶函数)

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。

(3)函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.(答：)

④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝____(答：1).

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设是定义域为R的任一函数， ，。①判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____(答：①为偶函数，为奇函数；②＝)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(，定义域是关于原点对称的任意一个数集).

8. 反函数：

(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、　B、　C、　D、　(答：D)

(2)求反函数的步骤：①反求；②互换 、；③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数的反函数不是，而是。如设.求的反函数(答：)．

(3)反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中≠ 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是____________(答：[4,7]).

②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。如(1)已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_____(答：(1,3))；(2)已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值(答：)；

③。如(1)已知函数，则方程的解______(答：1)；(2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数，f (4)＝0，则＝　　 (答：－2)

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为________(答：(2,8))；

⑤设的定义域为A，值域为B，则有，

，但。

7.求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法--已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。(答：)

(2)代换(配凑)法--已知形如的表达式，求的表达式。如(1)已知求的解析式(答：)；(2)若，则函数=_____(答：)；(3)若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________(答：). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。

(3)方程的思想--已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如(1)已知，求的解析式(答：)；(2)已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则=　　　 __(答：)。

6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如(1)设函数，则使得的自变量的取值范围是__________(答：)；(2)已知，则不等式的解集是________(答：)