8. 正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

7. 如图所示，已知底面是正方形的四棱锥，其一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D. 3

6. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积是(　　 )

　　 A. 10　　 B. 　　C. 　　D.

5. 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分截锥的侧棱，侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S₁、S₂、S₃，则(　　 )

A. 　　　　　　 B.

C. 　　　　　　 D.

4. 设一个三棱锥的侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的角为，那么两个角与的三角函数关系是(　　 )

A. 　　　　　　 B.

C. 　　　　　　 D.

3. 侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成二面角的余弦值为(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 若正三棱锥的斜高是锥高的倍，则棱的侧面积是底面积的(　　 )

　　 A. 倍　　 B. 2倍　　 C. 倍　　 D. 3倍

1. 正四棱锥的侧面是等边三角形，E是PC的中点，则异面直线BE和PA所成的角的余弦值为(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

3. 体积

[典型例题]

[例1] PA、PB、PC两两垂直，与PA、PB所成角为，，求与PC所成角。

解：构造长方体

[例2] 正四棱锥中，AB=，SA=，M为SA中点，N为SC中点。

(1)求BN、DM所成角

(2)P、Q在SB、CA上，，求PQ与底面ABCD所成角。

解：

(1)

H为SN中点　 　　

∴ 异面直线MD、BN所成角为

(2)过P作PH//SO交BD于H　　 ∴ PH⊥面ABCD

∴ 为PQ与底面所成角

　　 ∴ 　　

　 ∴

[例3] 直二面角，，，AB与所成角为，AB与所成角为，求证：。

证明：过A作AC⊥于C，过B作BD⊥于D　　 ∴ 　　

　 　　∴ 　　

∴ 　　

　 ∴ 　

当且仅当C、D重合时，

[例4] SA⊥面ABC，AB⊥BC，DE在面SAC内，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角(1)；(2)。

解：

(1)面DEB

∴ 为二面角的平面角

∴ 为二面角的平面角

∴ 　　

∵ AB=SA=1　 AC=　 SC=2

∴ BE=1　 DE=　　 CD=　　 ∴ 　

[例5] 正方体中，AB=1，求：

(1)D到面D₁AC的距离

(2)C到面AB₁D₁的距离

(3)M为BB₁中点，M到面D₁AC的距离

(4)AC₁与BB₁的距离

解：

(1)连

面

过D作DF⊥D₁E于F，⊥面D₁AC

∴ DF为距离　

(2)设C到面的距离为

∴ 　　

(3)连DM交D₁E于H，设M到面D₁AC距离为

　　 　　∴

(4)

[例6] 四棱锥，底面ABCD为菱形，AB=2，，PB=PD，PA=PC=，求：

(1)B到面PAD的距离

(2)BC与PA的距离

(3)AC与PD的距离

解：

(1)，连PH

面DBE

面PED

BF为所求　 　　　　　PB=2

∴ BE=DE=　 BD=2　 ∴ BF=

另　

(2)(BC，面PAD)=(B，面PAD)=

(3)过H作HM⊥PD于M

为公垂线

，，

[例7] 斜四棱柱，棱长均为2，，求四棱柱的体积。

解：过A₁作A₁H⊥面ABCD于H　

∵ H在的平分线上

过H作HE⊥AB于E

∴ 　　

[模拟试题](答题时间：60分钟)

2. 距离

(1)作垂线

(2)体积转化