2.注意区分项的系数与项的二项式系数.

1.正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.

[例1]求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数

解：

依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数，

又，，，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由得，

故系数为有理数的项共有17项

◆提炼方法：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

[例2]设a_n=1+q+q²+…+q(n∈N^*，q≠±1)，A_n=Ca₁+Ca₂+…+Ca_n

(1)用q和n表示A_n；

(2)当－3<q<1时，求

解：(1)因为q≠1，所以a_n=1+q+q²+…+q=

于是A_n= C+ C+…+C

=［(C+C+…+C)－(Cq+Cq²+…+Cqⁿ)］

={(2ⁿ－1)－［(1+q)ⁿ－1］}

=［2ⁿ－(1+q)ⁿ］

(2)=［1－()ⁿ］

因为－3<q<1，且q≠－1，所以0<| |<1

所以=

[例3]在二项式(ax^m+bxⁿ)¹²(a＞0，b＞0，m、n≠0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.

(1)求它是第几项；(2)求的范围.

解：(1)设T=C(ax^m)^12－r·(bxⁿ)^r=Ca^12－rb^rx^m(12－r)+nr为常数项，则有m(12－r)+nr=0，即m(12－r)－2mr=0，∴r=4，它是第5项.

(2)∵第5项又是系数最大的项，

Ca⁸b⁴≥Ca⁷b⁵.　 　　　　　 ②

由①得a⁸b⁴≥a⁹b³，

∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.

由②得≥，∴≤≤.

[例4]己知

(1)

(2)

证明：(1)

同理

(2)由二项式定理有

因此

。

[研讨.欣赏]求证：2<(1+)ⁿ<3(n≥2，n∈N^*).

证明：(1+)ⁿ=C+C× +C()²+…+C()ⁿ

=1+1+C×+C×+…+C×

=2+×+×+…+×

<2++++…+<2++++…+

=2+=3－()<3.

显然(1+)ⁿ=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<(1+)ⁿ<3.

5. －160; 　6. ;　 　7. ;　 　8. 35; 　　9. ;　

10:设 f (x) ＝ (+x) ¹⁰ ，则(a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ²

＝[(a₀ + a₂ + … + a₁₀) +(a₁ + a₃ + … + a₉) ]·[(a₀ + a₂ + … + a₁₀)－(a₁ + a₃ + … + a₉) ]

＝f (1)· f (－1) ＝ (+1)¹⁰ (－1) ¹⁰＝1

4.

= ∴;

10. 设 (+x) ¹⁰ ＝ a₀ + a₁ x + a₂ x ² + … + a₁₀ x ¹⁰，则 (a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ² 的值为 　　　　　　．

◆练习简答: 1-4.ABDD; 2.x的奇数次方的系数都是负值，∴只需赋值x=－1;

9．(2005天津)设,则　　　　 .

8．(2005湖南)在(1+x)+(1+x)²+……+(1+x)⁶的展开式中，x ²项的系数是　　.(用数字作答)

7.在的二项展开式中,含的奇次幂的项之和为,当时, 等于______;

6.(2005湖北)的展开式中整理后的常数项为　　　 .