1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.

步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.

对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.

[例1](1)已知a,b∈R,求证:　 a²+b²+1>ab+a

(2)设求证

证明：(1)p= a²+b²+1-ab-a

=

=

显然p>0　　 ∴得证

(2)证法一:左边-右边=

　=

　= 　= ∴原不等式成立。

证法二:左边>0，右边>0。

　∴原不等式成立。

◆提炼方法:比较法.作差(或商)、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

[例2]已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.

证明法一：(综合法)∵a+b+c=0，

∴(a+b+c)²＝0.

展开得ab+bc+ca=－，

∴ab+bc+ca≤0.

法二：(分析法)要证ab+bc+ca≤0，

∵a+b+c=0，

故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)²，

即证a²+b²+c²+ab+bc+ca≥0，

亦即证［(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，

∴原不等式成立.

证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.

∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab－(a+b)²

＝－a²－b²－ab＝－［(a+)²+］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.

[例3]已知的三边长为且为正数.求证:

证明一:分析法: 要证

只需证

　　 ①

∵在ΔABC中,

∴①式成立,从而原不等式成立.

证明二:比较法:

证明二: 因为为的三边长, 所以

[例4]设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两根x₁、x₂满足1＜x₁＜x₂＜.

(1)当x∈(0，x₁)时，证明x＜f(x)＜x₁；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x₀对称，求证x₀＜.

证明：(1)令F(x)=f(x)－x，

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

∴F(x)=a(x－x₁)(x－x₂).

当x∈(0，x₁)时，由于x₁＜x₂，

∴(x－x₁)(x－x₂)＞0.

又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，

即x＜f(x).

又x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］，

∵0＜x＜x₁＜x₂＜，x₁－x＞0，

1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0，

∴x₁－f(x)＞0，即f(x)＜x₁.

综上，可知x＜f(x)＜x₁.

(2)法1:f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)+x=ax²-a(x₁+x₂-)x+ax₁x₂

　　 对称轴为x=x₀=－=, ()

法2:由题意知x₀=－.

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

即x₁、x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根，

∴x₁+x₂=－.

∴x₀=－==.

又∵ax₂＜1，∴x₀＜=.

题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验.

[研讨.欣赏]已知a＞1，m＞0，求证：log_a(a+m)＞log_a+m(a+2m).

证法1：

取对数得：lg(a+m)－lga>lg(a+2m)－lg(a+m)＞0　 ①

又 lga<log(a+m) 即　　　 ②

①×②得:

即log_a(a+m)＞log_a+m(a+2m)

(常见形式log_n(n+1)>log_(n+1)(n+2))

法2：log_a(a+m)－log_(a+m)(a+2m)

=－

=

∵a＞1，m＞0，

∴lga＞0，lg(a+2m)＞0，且lga≠lg(a+2m).

∴lga·lg(a+2m)＜［()］²

=［］²＜［］²=lg²(a+m).

∴＞0.

∴log_a(a+m)＞log_(a+λ)(a+2m).

✿提炼方法:1.综合法,为什么想到用“”--感觉式子的结构特征;

2.比较法.把对数的积用均值 不等式化为对数的和是一步关键的决择.

6.设甲、乙距离为s，水流速度为v(v₂＞v＞0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v₁==.

∵v₁－v₂=－v₂=－＜0，

∴v₁＜v₂.答案：v₁＜v₂

6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v₁,在静水中的速度v₂,则v₁与v₂的大小关系为____________.

◆简答:1-3.CAD;　 4. ;　 5. ①②;　

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a²+3＞2a；②a²+b²≥2(a－b－1)；③a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；④a+≥2.其中一定成立的是__________.

4.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是　　　 　　．

3. 设(0，+∞)，则三个数，，的值　(　)

A.都大于2　　　　　　 　B.都小于2　　

　C.至少有一个不大于2　D.至少有一个不小于2

2.(2005春上海)若a、b、c是常数，则“a＞0且b²－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的　 (　 )

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

1.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是　　　 (　 )

A.a　　　　　　　　　　　 B.b　　　　　　　　　　　 C.c　　　　　　　　　　　 D.不能确定

5. 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。