7．关于函数，下列说法不正确的是　　　　　　　 (　　 )

A．在区间(，0)内，为增函数

B．在区间(0，2)内，为减函数

C．在区间(2，)内，为增函数

D．在区间(，0)内，为增函数

6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为( 　)

　A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度

　B．时间t时该物体的瞬时速度

　C．当时间为△t 时该物体的速度

D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率

5．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 (　　 )

　　　 A．5，－15　　　　　　　 B．5，－4　　　　　　　 C．－4，－15　　　　　 D．5，－16

4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　 )

　A．90°　　　 B．0°　　　 C．锐角　　 D．钝角

3．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是　　　　　　　 (　　 )

　A．(-1，2)　　　 B．(1，-2)　　 C．(1，2)　　 D．(-1，2)或(1，-2)

2．若，则等于　　　　　 (　 　　)

A．　　　　 B．　　　 C．3　　　 D．2

1．设函数f(x)在处可导，则等于　　 (　 　　)

　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

例1(08山东)设函数，已知和为的极值点．

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)讨论的单调性；

(Ⅲ)设，试比较与的大小．

解：(Ⅰ)因为

，

又和为的极值点，所以，

因此

解方程组得，．

(Ⅱ)因为，，

所以，

令，解得，，．

因为当时，；

当时，．

所以在和上是单调递增的；

在和上是单调递减的．

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，

故，

令，

则．

令，得，

因为时，，

所以在上单调递减．

故时，；

因为时，，

所以在上单调递增．

故时，．

所以对任意，恒有，又，

因此，

故对任意，恒有．

说明：本题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题，另外利用导数证明不等式也是09年高考不科忽视的考查方向.

例2．(08北京)已知函数，求导函数，并确定的单调区间．

解：

．

令，得．

当，即时，的变化情况如下表：

		0

当，即时，的变化情况如下表：

			0

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．

例3．(08天津)已知函数，其中.

(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

(Ⅱ)讨论函数的单调性；

(Ⅲ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

解：(Ⅰ)，由导数的几何意义得，于是．

由切点在直线上可得，解得．

所以函数的解析式为．

(Ⅱ)．

当时，显然()．这时在，内是增函数．

当时，令，解得．

当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	－	－	0	+
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，(0,)内是减函数．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．

从而得，所以满足条件的的取值范围是．

说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

例4．(08湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为

V(t)=

(Ⅰ)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期？

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).

解：(Ⅰ)①当0＜t10时，V(t)=(－t²+14t－40)

化简得t²－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)+50＜50,

化简得(t－10)(3t－41)＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在(4，10)内达到.

由V′(t)=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	－
V(t)		极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50－108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.

例5．(08陕西)已知函数(且，)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．

(Ⅰ)求函数的另一个极值点；

(Ⅱ)求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．

解：(Ⅰ)，由题意知，

即得，(*)，．

由得，

由韦达定理知另一个极值点为(或)．

(Ⅱ)由(*)式得，即．

当时，；当时，．

(i)当时，在和内是减函数，在内是增函数．

，

，

由及，解得．

(ii)当时，在和内是增函数，在内是减函数．

，

恒成立．

综上可知，所求的取值范围为．

例6．求证下列不等式

(1)

(2)

(3)

证明：(1) 　

∴ 为上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

说明：利用导数证明不等式这一部分内容不可忽视，它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题。

8. 　

(1)恒成立　　 ∴为上

∴ 对任意 不等式　 　恒成立

(2)恒成立　　 ∴ 在上

∴ 对任意不等式　 恒成立

7. 导数与函数的单调性的关系

㈠与为增函数的关系。

能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。

㈡时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。

㈢与为增函数的关系。

为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

㈣单调区间的求解过程

已知　

(1)分析 的定义域；　 (2)求导数

(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间

(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。

㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。