[例1] 已知三个单元存放了变量，，的值，试给出一个算法，顺次交换，， 的值(即取的值，取的值，取的值)，并画出流程图.

错解：第一步　

　　　 第二步　

第三步　 　

流程图为

　　　　　　　　　　　　　　　　 图13-1-3

错因：未理解赋值的含义，由上面的算法使得，均取的值.

举一形象的例子：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤完成算法. 我们不可将两个墨水瓶中的墨水直接交换，因为两个墨水瓶都装有墨水，不可能进行直接交换.正确的解法应为：

S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；

　　　 S2　 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；

　　　 S3　 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；

　　　 S4　 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；

　　　 S5　 交换结束.

正解：第一步　 　　　{先将的值赋给变量，这时存放的单元可作它用}　

　　　 第二步　 　　　{再将的值赋给，这时存放的单元可作它用}　

第三步　 　　　{同样将的值赋给，这时存放的单元可作它用}　

第四步　 　　{最后将的值赋给，三个变量，，的值就完成了交换}

流程图为

　　　　　　　　　　 图13-1-4

点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量.

[例2]已知三个数，，.试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图.

　 解：流程图为

图13-1-5

点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一数最大(最小)将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大(较小)，则进行交换，最终第一个数即为最大(最小)值.

点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构.

[例3]画出求的值的算法流程图.

解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.

　 思路一：采用-1的奇偶次方(利用循环变量)来解决正负符号问题；

　　 　　　图13-1-6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图13-1-7

　 思路二：采用选择结构分奇偶项求和；

　 　　　　图13-1-8

　 思路三：可先将化简成，转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.　　

[例4] 设计一算法，求使成立的最小正整数的值.

解： 流程图为　 　　

图13-1-9

　点评：这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题，需要强调的是求和语句的表示方法.若将题改为求使成立的最大正整数的值时，则需注意的是输出的值.

[例5]任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.

　解：算法为：

S1　 判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行S2

S2　 依次从2-n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.

点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：

(1)质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.

　　 (2)要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.

　　　　　　　 　图13-1-10　　　　　　

　[例6]设计一个求无理数的近似值的算法.

分析：无理数的近似值可看作是方程的正的近似根，因此该算法的实质是设计一个求方程的近似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解.

解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:

S1　 令.因为,所以设

S2　 令,判断是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断大于0还是小于0.

S3　 若>0,则;否则,令.

S4　 判断是否成立，若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.

点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述.

3. 算法三种逻辑结构的几点说明：

(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.(2)一个条件结构可以有多个判断框.

(3)循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数，累加变量用语输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次.

2. 画流程图时必须注意以下几方面：

　(1)使用标准的图形符号.

　(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向画.

　(3)除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.

　(4)判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果.

　(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

1.“算法“没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性说明，算法具有如下特点：

(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法的每一步骤和次序应当是确定的.

(3)有效性：算法的每一步骤都必须是有效的.

3．根据对条件的不同处理，循环结构又分为两种：

直到型(until型)循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体.满足则停止.如图13-1-3，先执行A框，再判断给定的条件是否为“假”，若为“假”，则再执行A，如此反复，直到为“真”为止.

当型(while型)循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.如图13-1-4，当给定的条件成立(“真”)时，反复执行A框操作，直到条件为“假”时才停止循环.

　　　　　　　　　　　 图13-1-1　　　　　　　　　　　 图13-1-2

2．算法的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.

1.　　　　　 流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.

22.解：(1) 设

　..........1分

　　　 由，易得右焦点 ......................2分

当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知........3分

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为

代入E有

....................................................5分

于是　　 　

消去参数得

而也适上式，故R的轨迹方程是..................8分

(2)设椭圆另一个焦点为，

在中设，则

由余弦定理得.............10分

同理，在，设，则

也由余弦定理得.............12分

于是..........................14分

21.解：(1)..............................................2分

　　由题可知在[0，2]上恒成立.

当时此式显然成立，；

当时有恒成立，易见应当有，

可见在[0，2]上恒成立，须有.................4分

又

........................................6分

(2)设是图象上的两个不同点，则

.........................7分’

　　　　............................8分

此式对于恒成立，从而.......................10分

此式对于也恒成立，从而...................12分

注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.

20. 解法一：

　 (1)证明：…………………2分

又AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD……………3分

(2)解：取AD的中点F，连结AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，

∴PF⊥平面BCD　　　　　　　　 ………………………5分

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角………7分

在

即直线PC与底面ABCD所成的角的大小是………………8分

(3)解：设点D到平面PBC的距离为h，

………………10分

在△PBC中，易知PB=PC=　

又　　 ………………11分

　 　 　 　 即点D到平面PBC的距离为……………………………………12分

解法二：

(1)证明：建立空间直角坐标系D-xyz，如图

不妨设A(1，0，0)则B(1，1，0)，P(

………………2分

由

由AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD　 ………………………3分

　(2)解：取AD的中点F，连结AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，

∴PF⊥平面BCD　　　　　　　　　　　　 ………………………5分

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角…………………………7分

易知C(0，1，0)，F(　　

∴直线PC与底面ABCD所成角的大小为……………………8分

(3)解：设点D到平面PBC的距离为h，

………………10分

在△PBC中，易知PB=PC=　

又　　 ………………11分

即点D到平面PBC的距离为……………………………………12分