6.如图甲所示，在半径为r的圆形区域内有一匀强磁场，其磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.电荷量为q、质量为m的带正电的粒子(不计重力)从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角.

(1)求粒子做圆周运动的半径.

(2)求粒子的入射速度.

(3)若保持粒子的速率不变，从A点入射时速度的方向沿顺时针转过60°角，则粒子在磁场中运动的时间为多少？

解析：

(1)设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，如图乙所示，∠OO′A＝30°.

由图可知圆周运动的半径为：

R＝O′A＝r.

(2)根据洛伦兹力和向心力公式得：

Bqv＝m

有：R＝＝r

故粒子的入射速度v＝.

　(3)当带电粒子的入射方向沿顺时针转过60°角时，如图丙所示，在△OAO₁中，OA＝r，O₁A＝r，∠O₁AO＝90°－60°＝30°

由几何关系可得：O₁O＝r，∠AO₁E＝60°

设带电粒子在磁场中运动所用的时间为t.

由v＝，R＝

可得：T＝

解得：t＝＝.

答案：(1)r　(2)　(3)

金典练习二十八　磁场对运动电荷的作用

选择题部分共10小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.

　1.在一长直导线AB附近，有一带正电的小球用绝缘丝线悬挂在M点，当导线中通以图示的恒定电流时，下列说法正确的是(　)

A.小球受洛伦兹力作用，方向与导线AB垂直且指向纸里

B.小球受洛伦兹力作用，方向与导线AB垂直且指向纸外

C.小球受洛伦兹力作用，方向与导线AB垂直向左

D.小球不受洛伦兹力作用

答案：D

5.如图甲所示，在y＜0的区域存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面并指向纸外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度v₀从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的比荷.

解析：如图乙所示，带正电的粒子射入磁场后，

乙

由于受到洛伦兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动后，从A点射出磁场，O、A间的距离为l.粒子射出时速度的大小仍为v₀，射出方向与x轴的夹角仍为θ.根据洛伦兹力公式和牛顿定律有：

qv₀B＝m

解得：粒子做圆周运动的轨迹半径R＝

圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，根据几何关系有：

＝Rsin θ

联立解得：＝.

答案：

4.如图所示，质量为m、带电荷量为q的小球从倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向垂直纸面向外的匀强磁场中，其磁感强度为B.若带电小球在下滑过程中的某时刻对斜面的作用力恰好为零，则下列说法正确的是(　)

A.小球带正电

B.小球在斜面上运动时做匀加速直线运动

C.小球在斜面上运动时做速度增大、加速度也增大的变加速直线运动

D.小球在斜面上下滑的过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为

解析：对小球进行受力分析，带电小球在下滑的过程中某时刻对斜面的作用力恰好为零，由左手定则可知，洛伦兹力应垂直斜面向上，故A正确；又因为洛伦兹力垂直斜面，离开斜面前小球的合外力大小为mgsin θ，方向沿斜面向下，故小球在斜面上运动时做匀加速直线运动，B正确；当F_N＝0时，有qvB＝mgcos θ，D正确.

答案：ABD

3.一个质子和一个α粒子先后垂直磁场方向进入一个有理想边界的匀强磁场区域，它们在磁场中的运动轨迹完全相同，都是以图中的O 为圆心的半圆.已知质子与α粒子的电荷量之比q₁∶q₂＝1∶2，质量之比m₁∶m₂＝1∶4，则下列说法正确的是(　)

A.它们在磁场中运动时的动能相等

B.它们在磁场中所受到的向心力大小相等

C.它们在磁场中运动的时间相等

D.它们在磁场中运动时的动量大小相等

解析：因为轨迹相同，由半径公式R＝可得：

动能E_k＝mv²＝，由题中数据可知它们在磁场中运动时的动能相等，A正确；由向心力公式F＝可知，它们在磁场中所受到的向心力大小相等，B正确；由周期公式T＝知它们的周期之比为1∶2，轨迹在磁场中对应的圆心角都为π，所以运动时间不同，C错误；由半径公式可以判断它们在磁场中运动时的动量大小之比为1∶2，所以D错误.

答案：AB

2.如图所示，水平绝缘面上一个带电荷量为+q的小带电体处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，小带电体的质量为m.为了使它对水平绝缘面正好无压力，应该(　)

A.使B的数值增大

B.使磁场以速率v＝ 向上移动

C.使磁场以速率v＝ 向右移动

D.使磁场以速率v＝ 向左移动

答案：D

12.在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y 轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图甲所示.不计粒子重力，求：

(1)M、N两点间的电势差U_MN.

(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r.

(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.[2008年高考·天津理综卷]

解析：(1)粒子的运动轨迹如图乙所示，设粒子过N点时的速度为v，有：

＝cos θ

所以v＝2v₀

粒子从M点运动到N点的过程，有：

qU_MN＝mv²－mv

解得：U_MN＝.

(2)粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有：

qvB＝

解得：r＝.

(3)由几何关系得：ON＝rsin θ

设粒子在电场中运动的时间为t₁，有：

ON＝v₀t₁

故t₁＝

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝

设粒子在磁场中运动的时间为t₂，有：

t₂＝T

故t₂＝

又t＝t₁+t₂

所以t＝.

答案：(1)　(2)　(3)

11.图甲为一种质谱仪的工作原理示意图.在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点.CM垂直磁场左边界于M，且OM＝d.现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v₀.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：

(1)磁感应强度的大小和方向.(提示：可考虑以沿CM方向运动的离子为研究对象)

(2)离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间.

(3)线段CM的长度.[2008年高考·重庆理综卷]

解析：(1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R.

由qv₀B＝m，R＝d

解得：B＝，方向垂直纸面向外.

(2)设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动的时间为t.

由vcos θ＝v₀

解得：v＝

R′＝＝

解法一　如图乙所示，设弧长为s

由t＝，s＝2(θ+α)R′

解得：t＝.

解法二　离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝

故t＝T·＝.

　(3)设从N点射入的离子的轨迹圆心为A，过A作AB垂直NO，如图丙所示.则：

NA＝R′＝

NB＝R′·cos θ＝d

故BO＝NM

因为NM＝CMtan θ

又因为BO＝ABcot α＝R′sin θcot α＝sin θcot α

所以CM＝dcot α.

答案：(1)，方向垂直纸面向外

(2)　d　(3)dcot α

10.如图所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上.整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下.一电荷量为q(q>0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′.球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(0<θ<).为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率.(重力加速度为g)[2008年高考·四川理综卷]

解析：据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为 O′.P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力F_N和磁场的洛伦兹力F＝qvB(式中v为小球运动的速率).

洛伦兹力F的方向指向 O′，根据牛顿第二定律有：

F_Ncos θ－mg＝0

F－F_Nsin θ＝m

由以上各式可得：

v²－v+＝0

由于v是实数，必须满足

Δ＝()²－≥0

由此得：B≥

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为：

B_min＝

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：

v＝

即v＝sin θ.

答案：　sin θ

9.如图甲所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T.磁场内有一块足够大的平面感光平板ab，板面与磁场方向平行.在距ab的距离l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向均匀地发射α粒子.设放射源发射α粒子的速度都是v＝3.0×10⁶ m/s.已知α粒子的比荷＝5.0×10⁷ C/kg.现在只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度.

[2004年高考·广东物理卷]

解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动.用R表示轨迹半径，有：qvB＝m，由此得：R＝ ，代入数据计算得：R＝0.1 m，可见2R＞l＞R.

因朝不同的方向发射的α粒子轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图乙中N的左侧与ab相切，则此切点P₁就是α粒子能打中的左侧最远点.为定出P₁点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心、R为半径作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P₁，即NP₁＝＝8 cm.

再考虑N的右侧，任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P₂点，此即右侧能打到的最远点.由图中几何关系得：

　NP₂＝＝12 cm

故所求长度P₁P₂＝NP₁+NP₂＝20 cm.

答案：20 cm

8.在如图所示的空间中，存在场强为E的匀强电场，同时存在沿x轴负方向、磁感应强度为B的匀强磁场.一质子(电荷量为e)在该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动.据此可以判断出[2008年高考·北京理综卷](　)

A.质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小；沿z轴正方向电势升高

B.质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能增大；沿z轴正方向电势降低

C.质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势升高

D.质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势降低

解析：质子所受电场力与洛伦兹力平衡，大小等于evB，运动中电势能不变；电场线沿z轴负方向，沿z轴正方向电势升高.

答案：C