21．[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF

交AF的延长线于点D. 求证：DC是⊙O的切线.

[证明]连结OC，所以∠OAC=∠OCA.

又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.

又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，

故DC是⊙O的切线．　 ………………… 10分

B．选修4-2　矩阵与变换

变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用

下所得的曲线方程．

[解]变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，

即，

所以变换后的曲线方程为．　　　　　　　　 ………………… 10分

C．选修4-4　参数方程与极坐标(本题满分10分)

已知圆和圆的极坐标方程分别为，．

(1)把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解](1)，所以；因为，

所以，所以． ………5分

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．　

化为极坐标方程为，即．　 ………………… 10分

D．选修4-5　不等式证明选讲(本题满分10分)

已知，求证：.

[解]因为，所以，所以要证，

即证， 即证，　　　　　　　　　　　　　　　

即证，而显然成立，故．…………… 10分

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分16分)

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足，且．令

．

(1)求 g(x)的表达式；

(2)若使成立，求实数m的取值范围；

(3)设，，

证明:对，恒有

[解] 　(1)设，于是

所以

又，则．所以.　　　　　 ……………………4分

(2)

当m>0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；

当m=0时，对_，恒成立；　　 　　……………………6分

当m<0时，由，列表：

x
	－	0	+
	减	极小	增

　　　　　　 ……………………8分

所以若_，恒成立，则实数m的取值范围是.　

故使成立，实数m的取值范围_．……………… 10分

(3)因为对，所以在内单调递减.

于是

………………… 12分

记，

则

所以函数在是单调增函数，　　　 ………………… 14分

所以，故命题成立.　　 ………………… 16分

附加题部分

19．(本小题满分16分)已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

(1)求椭圆C和直线l的方程；

(2)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

[解](1)由离心率，得，即.　　 ① ………………2分

又点在椭圆上，即.　　 ② ………………4分

解 ①②得，

故所求椭圆方程为.　　　　　 …………………6分

由得直线l的方程为. ………8分

(2)曲线，

即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线

上，半径为的动圆.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………… 10分

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.

设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分

当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，

解方程组得.　　　　　　　　　　　 ………………… 14分

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，　

所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，

解得.　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　………………… 16分

　 　(说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分)

18．(本小题满分15分)某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.

(1)设，把y表示成的函数关系式；

(2)变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

[解](1)在中，所以=OA=.所以

由题意知.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………2分

　所以点P到A、B、C的距离之和为

　.　 　……………………6分

故所求函数关系式为.　　　　 ……………………7分

(2)由(1)得，令即，又，从而.　 ……………………9分.

当时，；当时, .

所以当 时，取得最小值，　　　　 ………………… 13分

此时(km)，即点P在OA上距O点km处.

[答]变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分

17．(本小题满分15分)设等差数列的前项和为且．

(1)求数列的通项公式及前项和公式；

(2)设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得

成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

[解](1)设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分

即解得……………………4分.故.　 ………6分

(2)由(1)知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得，　　 …………… 11分

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.

故存在正整数t，使得成等差数列.　　 ………………… 15分

16．(本小题满分14分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．

(1) 求证：AF∥平面BCE；

(2) 求证：平面BCE⊥平面CDE．

[证明](1)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

所以AB∥DE.

取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，

所以GF∥ED∥BA， GF＝ED＝BA，

从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.　　　　　　　　　　 ……………………4分

因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．　 ……………………7分

(2)因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，

所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.　　　　　　　 ……………………9分

又AC=AD，所以AF⊥CD.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………… 11分

而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.

因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.

因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．　　　　　　 ………………… 14分

15．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b²=ac，向量和满足.(1)求的值；(2)求证：三角形ABC为等边三角形．

[解](1)由得，，　　　　　 ……………………2分

又B=π(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=，　　　　　　　 ……………………4分

即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC=． ……………6分

[证明](2)由b²=ac及正弦定理得，故. ……………8分

于是，所以 或. 因为cosB =cos(AC)>0， 所以 ，故．　 ………………… 11分

由余弦定理得，即，又b²=ac，所以　 得a=c.

因为，所以三角形ABC为等边三角形.　　　　　　　　 ………………… 14分

11．；　　 12．4；　　　　　 　13．；　　　　 14．0．

6．；　　 7．；　　　　　 　8．90；　　　　 9．10；　　　　　 10．①③④ ；

1．；　　　　 2．;　　　　　 3．2；　 　　　　4．；　　　　 5．；