2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

　　 《集合与简易逻辑》复习

4.(2010年江苏23)(本小题满分10分)

已知△ABC的三边长都是有理数。

(1)求证cosA是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

(方法一)(1)证明：设三边长分别为，，∵是有理数，

是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

∴必为有理数，∴cosA是有理数。

(2)①当时，显然cosA是有理数；

当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；

②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。

当时，，

，

，

解得：

∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，

∴是有理数。即当时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

(方法二)证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

是有理数。

(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。

①当时，由(1)知是有理数，从而有也是有理数。

②假设当时，和都是有理数。

当时，由，

，

及①和归纳假设，知和都是有理数。

即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

3.(2010年上海理22)(本题满分18分)

本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数、、满足，则称比远离.

(1)若比1远离0，求的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；

(3)已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明).

解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a³+b³比a²b+ab²远离； (3) ， 性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期， 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为．

2.(2010年广东理21)(本小题满分14分)

设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.

当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.

(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。

1.(2010年北京理20)(本小题共13分)

已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为

(Ⅰ)证明：，且;

(Ⅱ)证明：三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.

　 证明：≤.

[分析]：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。

　　　 题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1， 也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1， 第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。

　　　 第一问，因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合的要求。然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1， 每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。

　　　 第二问，先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个)，然后比较A和C有几个不同，这两者重复的(就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次)，剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数。

　　　 第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来一切就水到渠成了。

　　　 此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。

解：(1)设

因，故，即

又当时，有；

当时，有故

(2)设

记　 记，由第一问可知：

即中1的个数为k，中1的个数为l，

设t是使成立的i的个数，则有，

由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。(3)显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1， 那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，

那么n个位置的总和即

2.(2008年上海理10)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h₁、h₂，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计)，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ₁、θ₂，那么船只已进入该浅水区的判别条件是　 　　　　　 .

[答案]

[解析]依题意， ；

1.(2010年北京理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P(，y)的轨迹方程是，则的最小正周期为　　　　　 ；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为　　　　　 。

说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

解析：不难想象，从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：

因此不难算出这块的面积为