的图象和性质![]()
|
|
a>1 |
0<a<1 |
|
图 象 |
|
|
|
性 质 |
定义域:R |
|
|
值域:(0,+∞) |
||
|
过点(0,1),即x=0时,y=1 |
||
|
在
R上是增函数 |
在R上是减函数 |
(三) 实际问题:
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
分析:通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求.
解:设这种物质量初的质量是1,经过x年,剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×84%=
;
经过2年,剩留量y=0.84×84%=
;
……
一般地,经过x年,剩留量 y=0.84![]()
根据这个函数关系式可以列表如下:
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
1 |
0.84 |
0.71 |
0.59 |
0.50 |
0.42 |
0.35 |
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.
评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现.
(一)指数函数图象的变换:
1.说明下列函数图象与指数函数
的图象关系,并画出它们的图象:
;
;
解:⑴作出图像,显示出函数数据表
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
|
|
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
比较函数
、
与
的关系:
将指数函数y=
的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=
的图象,
将指数函数y=
的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=
的图象.
![]()
![]()
2.作出
、
图像,显示出函数数据表
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
0.0625 |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
|
|
0.03125 |
0.0625 |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
比较函数
、
与
的关系:
将指数函数
的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数
的图象,
将指数函数
的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数
的图象.
3.作出
;
的图像(略).比较函数与
的关系。
小结:
的图象向左平移a个单位得到
图象;
向右平移a个单位得到
图象;
向上平移a个单位得到
图象;
向下平移a个单位得到
图象.
4.作出
的图象,并指出它的单调区间.
解:
定义域:xÎR 值域:
单调增区间是(-∞,0],单调减区间是(0,+∞).
小结:将
的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧得到的完整图像是
的图像,
关于y轴对称.