2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
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直角三角形 |
3个面两两垂直的四面体 |
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∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c |
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S |
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
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圆的性质 |
球的性质 |
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圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 |
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 |
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与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 |
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 |
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圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 |
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 |
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经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 |
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 |
☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
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