[探索题](2005全国Ⅲ)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数.求ξ的概率分布和数学期望.(精确到0.0001).

解:比赛1局甲队胜的概率是0.6,乙队胜的概率是0.4,

比赛3局结束有两种情况,甲胜3局或乙胜3局.P(ξ=3)=0.6³+0.4³=0.28

比赛4局结束有两种情况,前3局中甲队胜2局,乙队胜1局,第四局甲队胜,或前3局乙队胜2局,第四局乙队胜.P(ξ=4)=C₃²0.6²0.4·0.6+C₃²0.4²·0.6·0.4=0.3744

比赛5局结束有两种情况,前4局甲队胜2局,乙队胜两局,第五局甲队胜,或乙队胜.

P(ξ=5)=0.3456,分布列为

期望:Eξ=4.0656.

10. (2005湖北)某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.

解：ξ的取值分别为1，2，3，4.

ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(ξ=1)=0.6.

ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故

　 P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年内领到驾照的概率为

9．(2006全国Ⅰ)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验　 每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效　 若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组　 设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.　

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.

解：(Ⅰ)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2， B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，依题意有

所求的概率为

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) 　

　P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=,

P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列为:

数学期望: Eξ=3× = 　

8．(2006江西)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额,求

(1) ξ的分布列;　　 　 (2) ξ的数学期望.

.解: (1) ζ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.

(元)

7.甲、乙乙两名射手在一次射击中，得分为两个独立的随机变量ξ和η，其分布列为

求(1)a,b的值；

(2)计算ξ、η的期望与方差，并据此分析甲、乙的技术状况。

解：(1)由a+0.1+0.6=1得a=0.7. 同理b=0.1

　(2)Eξ=2.3,　 Eη=2.0 ,　 Eξ>Eη

Dξ=0.81,　 Dη=0.6.　　 Dξ>Dη

说明射击中甲的平均得分高于乙，但稳定性不如乙。

6.得分情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分.

故P(ξ=5)==，P(ξ=6)==，P(ξ=7)==，

P(ξ=8)==，Eξ=5×+6×+7×+8×==.

[解答题]

5.设甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ-B(50，0.8)，η=2ξ，成绩的期望为Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分)；

成绩的标准差为ση====2=4≈5.7(分)

4.Dξ=npq≤n()²=，当p=q=时等号成立，Dξ=25，σξ=5.答案：, 5.

6.袋中有4个红球，3个黑球，今从袋中随机取出4个球.设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，则得分ξ的取值为_____________,ξ数学期望等于__________.

◆练习简答：1-3.CAC;

5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.