同步练习 　9.5空间的角和距离

1.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是CC₁的中点，则E到A₁B的距离是　 (　 )

A. a 　　 B. a C. a　　 　 D. a

[例1]如图，三棱锥D-ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=90⁰，其腰BC=a，且二面角D-AB-C=60⁰.

(1)　　　　　 求异面直线DA与BC所成的角；

(2)　　　　　 求异面直线BD与AC所成的角；

(3)　　　　　 求D到BC的距离；

(4)　　　　　 求异面直线BD与AC的距离.

解析：(1)DA与BC成60⁰角

(2)设BE中点为O，DE中点为F，连OF，则OF//BD，求∠AOF即为

异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos

(3)∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离

在△DMN中，DM=a，MN=a　 ∴ DN=a

　 (4)∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF

∴ AC∥平面BDF； 又BD平面BDF

∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离

∵ ，

∴

，

即异面直线BD与AC的距离为

◆评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.

[例2](2006邯郸二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点,

(Ⅰ) 求证：CM∥侧面PAD；

(Ⅱ)求直线CM与底面ABCD所成的角；

(Ⅲ)求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小

解：(Ⅰ)证明：作MN∥AB交AP于N,连结DN,

则MN∥AB∥CD,且

　∴CM∥ND,CM∥平面PAD

(Ⅱ)∵CM∥ND, ∴ND与平面ABCD所成的角为所求.

∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD

∴∠AND为所求； ∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中点

∴CM与底面所成的角为30º.

(Ⅲ)延长AD、BC交于点E,连结P、E.

则PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD

所以，∠APE=90º，AP⊥PE

又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD

　 ∴AB⊥平面PAE

∴BP⊥PE, ∠BPA为所求二面角的平面角

tan∠BPA=

所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2

[例3]如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和点B分别在平面α和平面　　　　 β 内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.

(1)求证：AB⊥PQ；

(2)求点B到平面α的距离；

(3)设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.

证明(1)：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD.

∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用，

∴△ACD≌△BCD . ∴∠ADC=∠BDC=　 90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD，

则AB⊥PQ.

(2)解：由(1)知，∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，

∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，

∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，则BE即为B到平面α的距离.

BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a.

(3)　　　　　 解：连结ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR与α所成的角，

即∠BRE=45°，则有BR== a.易知△ABD为正三角形，AB=AD=BD=a.

在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=.

在△BCR中，设CR=x，由余弦定理得(a)²=x²+a²－2ax·，求得x₁=，x₂=(舍去，∵CR<AC=a)，故CR=.

[例4]四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知,,,．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小．

解:(1)作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依题设，

故，由，，．

又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．

∴直线与平面SBC所成的角为．

5．“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那麽这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的.　　 6。

3．提示：四个面全等，设面积为S，设三个侧面在底面上的射影分别是S₁、S₂、S₃，则　 S= S₁+S₂+S₃=Scosα+Scosβ+Scosγ…

2．提示：作PO⊥平面ABC于O，则O是Δ的外接圆圆心，且∠AOB=120⁰……

6。正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____．

◆答案提示：1-3．ABA；　　 4.　 ；

5．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______ .

4.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.

3.三棱锥V-ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成二面角分别为α，β，γ(都是锐角)，则cosα+cosβ+cosγ等于 (　 )

　A.1　　 B.2 　　　C.　　 D.

2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是 　　　　　　(　 )

A.13　　 　 B.11　　 C.9　 　 D.7