30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点　

(Ⅰ)若双曲线过点(，)，求双曲线的方程；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程　

解：(Ⅰ)∵双曲线方程为

∴，

∴双曲线方程为 ，又曲线C过点Q(2，)，

∴

∴双曲线方程为 　　………………5分

(Ⅱ)∵，∴M、B₂、N三点共线　

∵,　 ∴

(1)当直线垂直x轴时，不合题意　

(2)当直线不垂直x轴时，由B₁(0，3)，B₂(0，－3)，

可设直线的方程为，①

∴直线的方程为 　②

由①，②知 　代入双曲线方程得

，得，

解得 , ∴，

故直线的方程为　

29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知，点满足，记点的轨迹为.

(Ⅰ)求轨迹的方程；

(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点.

　 (i)设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

(ii)过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.

解：(Ⅰ)由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…(3分)

(Ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，

　 ∴，　　 解得 ………………………………………(5分)

(i)∵

……………………(7分)

　　 假设存在实数，使得，

　　 故得对任意的恒成立，

　　 ∴，解得

　　 ∴当时，.

　　 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，

　　 综上，存在，使得. …………………………………………(8分)

　 (ii)∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………(9分)

　　 由双曲线定义得：，，

　 　方法一：∴

　　　　　　　　 　…………………………………………(10分)

　　 ∵，∴，∴………………………………………(11分)

　　 注意到直线的斜率不存在时，，

　 综上， ………………………………………………………………(12分)

　 　方法二：设直线的倾斜角为，由于直线

与双曲线右支有二个交点，∴，过

作，垂足为，则，

∴

……………………………………………………(10分)

　　 由，得

故：

28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。

⑴求椭圆C的方程。

⑵过点E(-2，0)的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。

解：⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为②

解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∴， …………………(2分)

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴，

故椭圆C的方程为　 ③…………………(4分)

⑵当直线的斜率存在时，设 ，代入③并整理得

，设，

则……………(5分)

∴，……(7分)

　点到直线的距离.

　∵，即，

　又由　 得　 ，

∴，…………………………(9分)

而，∴，即，

　解得，此时　 …………………………………(11分)

当直线的斜率不存在时，，也有，

经检验，上述直线均满足，

故直线的方程为　

27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1。

　 (1)求曲线C的方程；

　 (2)过点

　　　　 ①当的方程；

②当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，求的值。

　 (1)解法一：设，　　　　 …………1分

即

当；　　　　　　 …………3分

当　　　　　　　　　　　　　 …………4分

化简得不合

故点M的轨迹C的方程是　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 (1)解法二：的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，

点M到F(1，0)的距离与它到直线的距离相等　　　　 …………3分

所以曲线C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 (2)当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为，

代入 (☆)　　　　　　　　　 …………6分

与曲线C恒有两个不同的交点

设交点A，B的坐标分别为，

则　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

①由，

　　 …………9分

②

点O到直线m的距离，

…………10分

，

(舍去)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

当方程(☆)的解为

若

若　　　　　　　 …………13分

当方程(☆)的解为

若

若　　　 …………14分

　　 所以，

26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。

(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率K_ON ；

(2)对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角(∈R)使等式：＝cos+sin成立。

解：(1)设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：　　　 ①　　　　　　 　　　　………2分

易知右焦点F的坐标为()，

据题意有AB所在的直线方程为：　 ②　　　　　　　　　　 ………3分

由①，②有：　　　　 ③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

(2)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1)中各点的坐标有：

，所以

。　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………7分

又点在椭圆C上，所以有整理为。　　　　　 ④

由③有：。所以

　 ⑤

又A﹑B在椭圆上，故有　　　　　　　　 ⑥

将⑤，⑥代入④可得：。　　　　　　　　　　　　　　　　 ………11分

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而

在直角坐标系中，取点P()，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。

也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角(∈R)使等式：＝cos+sin成立。

10．已知数列{a_n}、{b_n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设c_n=a_n+b_n,S_n为数列{c_n}的前n项和，求．

解:S_n=+,

当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以p^n－1，得

∴=p．

当p＜1时，0＜q＜p＜1, ==1．

[探索题]已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为

(Ⅰ)求数列的首项和公比；

(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和；

(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零

(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)

解: (Ⅰ)依题意可知,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,

,即数列的前10项之和为155

(Ⅲ) ===，

，=

当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2

9． (2003年北京)如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB、BC相切,…,圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆O_n的面积为a_n(n∈N*)．

(1)证明{a_n}是等比数列；

(2)求(a₁+a₂+…+a_n)的值．

(1)证明:记r_n为圆O_n的半径，

则r₁=tan30°=l．

=sin30°=,∴r_n=r_n－1(n≥2)．

于是a₁=πr₁²=,=()²=,

∴{a_n}成等比数列．

(2)解：因为a_n=()^n－1·a₁(n∈N*),

所以(a₁+a₂+…+a_n)==．

8．已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂与a₃的等差中项,且

　=,求极限 (++…+)的值．

解:{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂．

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d₁),

∴2d₂－3d₁=2．

又===,即d₂=2d₁,

∴d₁=2,d₂=4．

∴a_n=a₁+(n－1)d₁=2n+1,b_n=b₁+(n－1)d₂=4n－2．

∴==(－)．

∴原式=(1－)=．

7．　求下列极限：

；

解：(1)

(2)

4． 2;　 5．2;　 6．3．

[解答题]