2.由a_n=4a_n-1+2ⁿ两边同除以2ⁿ得是等比数列.

2.法二:也可以由S_n与a_n的关系,先转化为S_n与S_n-1的关系,求出S_n再求a_n.此法虽绕些,但也是一种方法.

[例3]已知数列{a_n}的通项a_n = (n+1)()ⁿ (n∈N﹡)试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由

解：∵a_{n + 1} – a_n = (n+2)( )ⁿ⁺¹ – (n+1) ( )ⁿ =

∴当n＜9时，a _{n + 1} - a_n＞0即a _{n + 1}＞a _n；

当n=9时a _{n + 1}－a _n＝0，即a _{n + 1}＝a_n　，

当n＞9时，a _{n + 1}- a_n＜0即a _{n + 1}＜a _n　，

故a₁＜a₂＜……＜a₉ = a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞……，　

∴数列{a_n}中最大项为a₉或a₁₀　，

其值为10·()⁹，其项数为9或10　

法二:由解得n≤10,又.所以最大项为a₉或a₁₀.

方法提炼:由a_{n + 1} 　a_n　 判断增减情况,再确定最大项;注意等号.

法二:由通项公式,利用导数求最大项也行.

[例4] (2006全国Ⅰ)设数列的前项的和

，

(Ⅰ)求首项与通项；

(Ⅱ)设，，证明：

解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，…　 ①

　得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2 　

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,……②

将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

　 = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　T_n= = × = ×( － )

所以, = － )　 = ×( － ) <

提炼方法；1. 利用a_n=S_n－S_n－1和已知得:a_n=4a_n-1+2ⁿ,令:a_n+x2²=4(a_n-1+x2^n-1)可得a_n+2²=4(a_n-1+2^n-1)化为等比数列;

[例1]有一数列{a_n}，a₁＝a，由递推公式a_n+1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.

解：∵a₁＝a，a_n+1＝，∴a₂＝，

a₃＝＝＝，

a₄＝＝＝.

观察规律：a_n＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2^n－1.而y比x小1，　 ∴a_n＝.下面再用数学紧地证明:

法二:由a_n+1＝得同除以得

,

∴当a=1时,a_n≡1;

当a≠1时,是等比数列.公比是,首项

.当a=1时也适合此式.

提炼方法:1.”猜想+证明”,即通过分析特殊的事例,归纳、猜想出一般规律，再用数学归纳法证明，这种探索问题的方法，在解数列问题时经常用到，应引起足够的重视.

2.由递推公式,化归为等比或等差数列再求.方法更为便捷.

[例2]　已知数列的前项和满足

(1)写出数列的前三项；

(2)求数列的通项公式；

解：(1)为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异

　由

由

由

(2)为了求出通项公式，应先消除条件式中的事实上

当时，由得

两式相减得 即　

两边同乘以，便得

令就有 ，

于是　　 ，

这说明数列是等比数列，公比　首项，

从而，得，

即　， 故有

经验证a₁也满足上式，故知

法二:迭代法:

提炼方法:1.利用S_n与a_n的关系转化为a_n,a_n-1的递推关系: 形式;再转化为等比数列.

5. a_n = ; 6.由已知S_n=2ⁿ⁺¹－1，故a_n=　　 　

6.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂(S_n+1)=n+1，求数列{a_n}的通项公式.

简答:1-3、ACC；1. 法一： a₃=，…a₅=，.法二：当n≥2时，a₁·a₂·…·a_n=n².当n≥3时a₁·a₂·…·a_n－1=(n－1)².两式相除a_n=()²，…;2. 法一： a_n=(－n²+15n－9)，再解(－n²+15n－9)＞1.5，得6＜n＜9.法二：将选项中的月份代入计算验证.4. f(3) =10,

5．－1，……的通项公式是　　　　　　

4．(2006广东) 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2　 3　 4　 …堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放　 从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=　　 ；f(n)=　　　 (答案用n表示)　　 　

3.2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制.已知1个细菌M可以杀死1个病毒N，并且生成2个细菌M，那么1个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A 1024　　　 B 2048　　 C 2049　 D 2²⁰⁴⁸

2.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S_n(万件)近似地满足关系式S_n=(21n－n²－5)(n=1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.5、6月　　　　　　　　　　 B.6、7月　　　　　　　　　　 C.7、8月　　　　　　　　　　 D.8、9月

1.数列{a_n}中，a₁=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a₁·a₂·a₃·…·a_n=n²，则a₃+a₅等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.　　 　　　　　　　　　 B.　　 　　　　　　　　　 C.　　 　　　　　　　　 D.