140. 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAC=90⁰，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30⁰角，求二面角B-B₁C-A的正弦值。

解析：可以知道，平面ABC与平面BCC₁B₁垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC₁B₁，过A作AN平面BCC₁B₁，垂足为N，则AN平面BCC₁B₁，(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB₁内过N作NQ棱B₁C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。

∵AB₁在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB₁A，AB=BB₁=1，得AB₁=。∵直线B₁C与平面ABC成30⁰角，∴B₁CB=30⁰，B₁C=2，Rt△B₁AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。

sinAQN==。即二面角B-B₁C-A的正弦值为。

139. 在三棱锥P-ABC中， 　 APB=BPC=CPA=60⁰，求二面角A-PB-C的余弦值。

解析：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可知MQN即为二面角的平面角。

设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；

又由PQNPQM得PN=a,故在正PMN中MN=a,在MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。

138. 相交成90°的两条直线和一个平面所成的角分别是30°和45°，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是(　　 )

(A)	(B)
(C)	(D)

解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为θ，则．

137. 如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三个侧面ABCD、CC₁D₁D、BCC₁B₁的中心，则A₁M与NP所成的角是(　　 )

解析：D如图所示　

136. 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值

是　　　　　　　 ．

解析：

135. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明： 取BC中点D　 连结AD、PD

　　　　 ∵PA=PB；∠APB=60°

　　　　 ∴ΔPAB为正三角形　　　　　　

　　　　 同理ΔPAC为正三角形

　　　　 设PA=a

　　　　 在RTΔBPC中，PB=PC=a

　　　　 BC=a

　　　　 ∴PD=a

　 在ΔABC中

　 AD=

　　 =a

∵AD²+PD²=

　　　　 =a²=AP²

∴ΔAPD为直角三角形

即AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

134. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，，若，求证：平面ASC平面ABC。

解析：(1)把角的关系转化为边的关系

(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明：设D为AB的中点

同理

且

即为且S在平面上的射影O为的外心

　则O在斜边AC的中点。

平面ABC

平面SAC

平面ASC平面ABC

133. 已知：平面α∩平面β=直线a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

证明：

证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--1分

∵ γ⊥α，

∴ PM⊥α．

而　 aα，

∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．　　　　　　 --4分

又　 PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a₁，交β于直线a₂．　 　--7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．

同理b∥a₂．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --8分

∵ a₁，a₂同过Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．

又　 a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交线，即都重合于a．　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．

而a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　--12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．　　　　　　　　　　 --1分

∵ α⊥γ，P∈α，

∴ a′α．

同理a′β．　　　　　　　　　　　 --3分

可见a′是α，β的交线．

因而a′重合于a．　　　　　　　　　 --5分

又　 a′⊥γ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　--8分

又　 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --11分

而 a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。

解: 作VO^平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,

　　　 ∴ÐVBO为VB与平面ABC所成的角。

　　　 连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。

　　　 ∵VA = VB = VC

　　　 ∴OA = OB = OC

　　　 ∴O为△ABC为外心

　　　 ∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边

　　　 ∴O为AC的中点

　　　 设VA = a, 则VA = VC = AC = a,

　　　 在Rt△VOB中,

　　　 ∴ÐVBO = 60°

　　　 ∴VB与平面ABC所成的角为60°。

2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。