20．[解] 　(1)设，于是

所以

又，则．所以.　　　　　 ……………………4分

(2)

当m>0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；

当m=0时，对_，恒成立；　　　　 ……………………6分

当m<0时，由，列表：

x
	－	0	+
	减	极小	增

　　　　　　 ……………………8分

所以若_，恒成立，则实数m的取值范围是. 　

故使成立，实数m的取值范围_．……………… 10分

(3)因为对，所以在内单调递减.

于是

………………… 12分

记，

则

所以函数在是单调增函数，　　　 ………………… 14分

所以，故命题成立.　　 ………………… 16分

附加题答案

A．选修4-1　几何证明选讲

[证明]连结OC，所以∠OAC=∠OCA.

又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.

又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，

故DC是⊙O的切线．　 ………………… 10分

B．选修4-2　矩阵与变换

[解]变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，

即，

所以变换后的曲线方程为．　　　　　　　　 ………………… 10分

C．选修4-4　参数方程与极坐标(本题满分10分)

[解](1)，所以；因为，

所以，所以． ………5分

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．　

化为极坐标方程为，即．　 ………………… 10分

D．选修4-5　不等式证明选讲(本题满分10分)

[解]因为，所以，所以要证，

即证， 即证，　　　 　　　　　　　　　　　　

即证，而显然成立，故．…………… 10分

19．[解](1)由离心率，得，即.　　 ① ………………2分

又点在椭圆上，即. 　　② ………………4分

解 ①②得，

故所求椭圆方程为. 　　　　　…………………6分

由得直线l的方程为. ………8分

(2)曲线，

即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线

上，半径为的动圆.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………… 10分

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.

设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分

当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，

解方程组得.　　　　　　　　　　　 ………………… 14分

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，　

所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，

解得.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　………………… 16分

　 　(说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分)

18．[解](1)在中，所以=OA=.

所以由题意知.　　　 ……………………2分

　所以点P到A、B、C的距离之和为

　. 　……………………6分

故所求函数关系式为.　　　　 ……………………7分

(2)由(1)得，令即，又，从而.　 ……………………9分.当时，；当时, .

所以当 时，取得最小值，　　　　 ………………… 13分

此时(km)，即点P在OA上距O点km处.

[答]变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分

17．[解](1)设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分

即解得……………………4分.故.　 ………6分

(2)由(1)知.要使成等差数列，必须，

即，……8分.整理得，　　 …………… 11分

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.　 故存在正整数t，使得成等差数列.　　 ………………… 15分

16．[证明](1)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.

取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，所以GF∥ED∥BA， GF＝ED＝BA，

从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.　　　　　　　　　　 ……………………4分

因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．　 ……………………7分

(2)因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，

所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.　　　　　　　 ……………………9分

又AC=AD，所以AF⊥CD.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………… 11分

而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE. 因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.

因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．　　　　　　 ………………… 14分

15．[解](1)由得，，　　　　　 ……………………2分

又B=π(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=，　　　　　　　 ……………………4分

即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC=． ……………6分

[证明](2)由b²=ac及正弦定理得，故. ……………8分

于是，所以 或. 因为cosB =cos(AC)>0， 所以 ，故．　 ………………… 11分

由余弦定理得，即，又b²=ac，所以　 得a=c.

因为，所以三角形ABC为等边三角形.　　　　　　　　 ………………… 14分

11．；　　 12．4；　　　　　 　13．；　　 　　14．0．

6．；　　 7．；　　　　　 　8．90；　　　 　9．10； 　　　　　10．①③④ ；

1．；　　　　 2．;　　　　　 3．2；　　　　　 4．；　　　　 5．；

23．如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，

AB＝BC=，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．

(1)AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

(2)设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

2010届江苏省高考数学冲刺试卷

[填空题答案]