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如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，底面为正方形，
，
，
分别是
，
的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求证：
；
（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
【解析】第一问利用线面平行的判定定理，
，得到
第二问中，利用
，所以
又因为
，
，从而得
第三问中，借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.
（Ⅰ）证明：
分别是
的中点，
，． …4分
（Ⅱ）证明：四边形为正方形，．
， ．
， 
，
．，． ………8分
（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,
∴
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已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆C；其长轴长等于4,离心率为
．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点
(0,1), 问是否存在直线
与椭圆
交于
两点,且
？若存在,求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中，可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中，
假设存在这样的直线
,设
,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
时,则K=0,显然直线
符合题意;
(ii)下面仅考虑
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线
,其斜率k的取值范围是
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