3.[2010·浙江理数]设P={x︱x<4},Q={x︱<4}，则(　 )

A.　　　　 　　B.　 　　　C.　　　 　　D.

[答案]B

[解析]，可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题.

2.[2010·湖南文数]下列命题中的假命题是(　 )

A. 　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　D.

[答案]C

[解析]本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、正切函数的值域，属容易题.对于C选项x＝1时，，故选C.

1.[2010·上海文数]“”是“”成立的(　 )

A.充分不必要条件　　　　 　B.必要不充分条件.

C.充分条件　 　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件.

[答案]A

[解析]，所以充分；但反之不成立，如.

20. [2010•江苏卷](1)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

解：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

(方法一)证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30⁰，∠DOC=60⁰，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

(方法二)证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90⁰，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90⁰。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

解：由题设得

由，可知A₁(0，0)、B₁(0，-2)、C₁(，-2)。

计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是，则由题设知：。

所以k的值为2或-2。

(3)在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，

又圆与直线相切，所以解得：，或。

(4)设a、b是非负实数，求证：。

解：(方法一)证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

(方法二)证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

19. [2010•福建理数](1)已知矩阵M=，，且，

(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。

(2)在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为(t为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为。

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|。

(3)已知函数。

(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

解：(1)(Ⅰ)由题设得，解得；

(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线上的两(0，0)，(1，3)，

由，得：点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0，0)，(-2，2)，从而

直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。

(2)(Ⅰ)由得即

(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|==。

(3)(Ⅰ)由得，解得，

又已知不等式的解集为，所以，解得。

(Ⅱ)当时，，设，于是

=，所以

当时，；当时，；当时，。

18. [2010•辽宁理数]已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

证明：(证法一)

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

　　　　　　　　　　 ①

所以　 　　　　　　　　②　　　　　　　　　　

故.

又　　　 ③

所以原不等式成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。　　　　　　

(证法二)

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以　　　　　　　 ①

同理　　　　　　 ②　　　　　 　　　　　

故

　　　　 ③

所以原不等式成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。　　　　　　　

17. [2010•辽宁理数]

已知P为半圆C：　　　　　　　 (为参数，)上的点，点A的坐标为(1,0)，

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。

(I)以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

(II)求直线AM的参数方程。

解：(Ⅰ)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，

故点M的极坐标为(，).　　　　　　

(Ⅱ)M点的直角坐标为()，A(0,1)，故直线AM的参数方程为

(t为参数)　　　　　　　

16.[2010•辽宁理数]如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

(I)证明：

(II)若的面积，求的大小。

证明：(Ⅰ)由已知条件，可得

因为是同弧上的圆周角，所以

故△ABE∽△ADC.　　　　　　　　

(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.

则sin=1，又为三角形内角，所以=90°.　　　　　

15. [2010 •广东文数]如图，在直角

梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,

点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= ＿。

[答案]

[解析]连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.

14. [2010 •广东理数]如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.

[答案]

[解析]因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .

在中，.由相交线定理知，

，即，所以．