[例1] 设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。

分析与简证：由_[来源:]

想：=2coscos

原型：=，为周期函数且2π为它的一个周期。

猜测：为周期函数，2π为它的一个周期

令=+，= 则=0

∴

∴为周期函数且2π是它的一个周期。

[例2] 已知函数满足，若，试求(2005)。

分析与略解：由

想：(+)=

原型：=为周期函数且周期为4×=π。

猜测：为周期函数且周期为4×1=4

∵==-

∴(+4)=

∴是以4为周期的周期函数

又∵f(2)=2004

∴===-

∴f(2005)=-　

[例3] 已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。

分析与略解：由：

想：(+)=+

原型：＝(为常数)为奇函数。＜0时为减函数，＞0时为增函数。

猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2]

设<且，∈R　 则－>0　 ∴(－)>0

∴==＞0

∴,∴为R上的单调增函数。

令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－_{[来源:ZXXK]}

∴为R上的奇函数。

∴(-1)=- (1)=-2　 ∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4

∴-4≤≤2(x∈[-2,1])

故在[-2,1]上的值域为[-4，2]

[例4] 已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1

(1)当＞0时，求的取值范围

(2)判断在R上的单调性

分析与略解：由：

想：

原型：=(＞0, ≠1)，=1≠0。当＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。

猜测： 为减函数，且当＞0时，0＜＜1。

(1)对于一切、∈R，且(0)≠0

令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-) ＞1

又(0)=(-)= =1　 ∴= ＞1

∴0＜＜1

(2)设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且

＞1

∴， ∴f(x)在R上为单调减函数

[例5] 已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，

[例6]

(1)证明：(1)=0；(2)求(16)；(3)若+ (-3)≤1，求的范围；

(4)试证()=(n∈N)

分析与略解：由：

想：(、∈R⁺)

原型：(＞0，≠0)

猜测：有(1)=0，(16)=2，……

(1)令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0

(2)(16)=(4×4)=(4)+(4)=2

(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)

在(0，+∞)上单调递增

∴

∴ ∈(3，4]

(4)∵

∴

[例7] 已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，＜1，(2)=

(1)求证：＞0；(2)求证：

(3)求证：在(0，+∞)上为单调减函数

(4)若=9，试求的值。

分析与简证：由，

想：

原型：(为常数(=)

猜测：＞0，在(0，+∞)上为单调减函数，……

(1)对任意＞0，=)=≥0

假设存在＞0，使=0，则对任意＞0

=f(==0，这与已知矛盾

故对任意＞0，均有＞0

(2)∵，＞0,　 ∴(1)=1

∴()=(·)=(1)=1　 ∴

(3)、∈(0,+∞)，且＜，则＞1，∴()＜1，

∴　 即

∴在(0，+∞)上为单调减函数。

(4)∵(2)=，()=9　 ∴(2)()=1

∴(2)=1=f(1)，而在(0，+∞)是单调减函数

∴2=1　 即=

综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本(原型)函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象--具体--抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。

6、－－=

5、或

－－=(为常数)

3、-- (＞0且≠1)

4、--(为常数)

2、--=(＞0且≠1)

1、--(为常数)

8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题--捕捉图象信息，数形结合。

材料八：如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有(　　 )

A、　　　　 B、　　 C、　　　 D、

解析：令，则不等式变为，可知函数是一个凹函数，故只有正确，选A。

总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。

总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。

课外练习：

函数是定义域在[0，1]上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。

(1)、求、及的值，并归纳出的表达式；

(2)、直线，，轴及的图象围成的图形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。(04，北京，18)

解析：(1)为了求，只需在条件中，令，即有

。由及，得。同理。归纳。

(2)、时，，

　。

故是首项为，公比为的等比数列，所以

。的定义域是，当时取得最小值。

7、 可解性：由抽象式求解析式问题--视为未知数，构造方程(组)。

材料七：设函数满足……①，求。

解析：以代，得，……②

以代，得，……③

①+③-②得：

所以　 _{[来源:ZXXK]}

总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或几个方程，然后设法求解。

6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题--紧密结合定义、适当加以配凑。

材料六：设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。

解析：，

，，又，

，即。

总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到(或)来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。

5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题--紧扣定义、合理赋值。

材料五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。

解析：令，则，得；

　　 令，则，得；

令，得，得

因此函数为奇函数。

总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。