7．什么是函数的极限?

实际上，数列就是定义域为自然数集的函数，在每一个自然数n处的函数值f(n)就是，即，如果理解了这种特殊函数形式的极限，那么学习函数极限的概念也就可以触类旁通，因为数列极限已包含着一般函数极限的基本思想．与数列不同的是，函数y=f(x)的自变量有多种变化过程．一般来说，自变量x的变化趋势有两种情形：一种是x无限接近于固定值；另一种是x的绝对值无限增大，也就是x沿数轴的正向和负向无限远离原点，下面就这两种不同的情形分别讨论函数的极限．

引例1　 已知自由落体的运动方程是，求在时刻t=1秒时的瞬时速度．

解　 这里我们遇到了两个问题：(1)什么叫做在时刻t=1秒时的瞬时速度；(2)怎么求出在时刻t=1秒时的瞬时速度．在中学物理课本中，我们知道，当质点做匀速直线运动时，速度是位移与时间之比：

它可以代表质点在任何时刻的速度．但是，自由落体并不是作匀速直线运动的，因此不能直接利用公式①来解决问题，为了解决所提出的问题，要用到平均速度的概念．我们任意取一个很短的时间间隔[1，t]，把质点在这个时间间隔内所作的运动近似地看成是匀速的．我们可以想象的到，当时刻t越来越接近1秒(也就是时间间隔[1，t]越短时)，质点运动越接近于匀速运动，从而这段时间间隔的平均速度越接近于质点在时刻t=1秒时的瞬时速度．根据上述想法，首先求出所考虑的时间间隔内，质点运动的平均速度，这个速度是依赖于时刻t的，我们记为．利用公式①可以求得：

这个式子反映了平均速度随着时刻t的变化规律．我们看到，平均速度具有这样的变化趋势：当时刻t无限接近于1秒，但t≠1秒时，平均速度无限接近于9.8米/秒．这时我们说，当时刻t趋向于1秒时，平均速度以9.8米/秒极限,并记为我们把这个极限定义为自由落体在时刻t=1秒时的瞬时速度．

引例2　 考察函数

解　 我们注意，这个函数在点x=1是没有定义的，对这个函数作图象，并列表如下：

从上表和图象可以看出：函数在点x=1的邻近具有这样的变化趋势：当x无限接近于1，但x≠1时，函数的值无限接近于2．这时我们说，当x趋向于1时，函数以2为极限,且记为

从上面给出的两个具体函数极限的例子的共同特点，可以抽象出当时函数f(x)的极限的描述性定义：如果函数y=f(x)在点的邻近具有这样的变化趋势：当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于一个常数A，那么我们说，当时，函数f(x)以A为极限，且记为．这个式子中的符号“”读作“x趋向于”，它表示x无限接近于的变化过程．应当注意，在一般讨论函数极限时，只要求函数f(x)在某个点的空心邻域(即点的邻域，但不包含点)内有定义，因此通常是限制x不等于的，并不要求函数f(x)在这一点一定要有定义．比如，在上面例1中，当t=1时，平均速度就失去意义，因为只有在一段时间间隔内，才有平均速度可言；又如，在例2中，当x=1时，所讨论的函数也没有定义．因此，在研究函数f(x)的极限时；我们总不去考虑这一点的函数值情况．无论f(x)在点是否有定义，只要当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于常数A，那么数A就是函数f(x)当x趋向于时的极限．

上面关于函数极限概念的描述，也只是-个直观的描述，在这个直观的描述中，涉及到两个“无限接近”(x无限接近于和f(x)无限接近于A)，它们的真正含义是什么呢?弄清这些是掌握函数极限概念的关键．

所谓“当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于A”的意思是：f(x)可以任意靠近A，希望有多近就能有多近，只要x充分靠近,但不等于时，就可以使f(x)与A靠近到我们希望的那样近．换句话说，就是指：“|f(x)-A|可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要充分小，但不为0(即时，就可以使|f(x)-A|达到我们希望的那样小．”

我们可以用例1涉及的平均速度来说明，|f(x)-A|就相当于若取0.1作标准，那么只要时，就有若认为0.1不够小，就选取0.01作标准．那么只要时，就有若嫌0.01仍不够小，要选更小的0.001作标准．那么只要,就有若想选0.0001作标准．只要，就有总之，任意给出多么小的正数ε作标准，只要这个ε一经给定，那么对平均速度来说，总能确定(或说总存在)一个正数δ，使得当0<|t-1|<δ时，都有上述过程可以概括在如下表格中：

给定正数	总存在一个正数	使得当…时	都有
0.1
0.01
0.001
0.0001
…	…	…	…
ε	δ	0<|t-1|<δ

这个表格的最后一行很关键，它把“当t无限接近于1，但t≠1时，无限接近于9.8”的本质确切地刻画出来了，把它概括为一般情形，就得到ε和δ描述的函数极限的精确定义(简称ε-δ定义)．

定义：设函数y=f(x)在的某个空心邻域内有定义，并设A是一个常数，如果任意给定一个(无论多么小的)正数ε，总存在一个正数δ，当时，都有|f(x)-A|<ε成立，则称当时，函数f(x)以A为极限，或称A为函数f(x)在点的极限，并记为，或者记为．为了便于记忆和掌握，也可以把这个定义概括如下：任给ε>0，总存在δ>0，使得当时，都有|f(x)-A|<ε．

极限有明显的几何意义，已知不等式与等价，又已知不等式|f(x)-A|<ε与A-ε<f(x)<A+ε等价，将极限定义中的四段话换成几何语言是：

对任意ε>0：任意以二直线y=A±ε为边界的带形区域．

总存在δ>0：总存在(以点为心的)半径δ>0．

当时：当点x位于以点为中心，以δ为半径的去心邻域之中．

有|f(x)-A|<ε：相应的函数f(x)的图象位于这个带形区域之内．如图2-4：

这样一来，的定义也可以表达为：对A的任意一个ε邻域O(A，ε)，总存在着的一个δ邻域，当时，有f(x)∈O(A，ε)．

例1　 设

思路启迪　 按照定义，要找这样的数δ>O，使0<|t-1|<δ时，即可．

规范证法　 因为极限式左边又因为我们不一定要找到满足定义的最大的δ，因此不妨只就t=1的某一邻域来考虑．例如取|t-1|<1即0<t<2，这时2<|t+2|<4，于是，|t+2||t-1|<4|t-1|,而时，上式右端就小于ε,因此只要取δ等于1和两数中最小的即可，亦即取．这时，当0<|t-1|<δ时，就有|t-1|<1和|t-1|<，因此|t+2||t-1|<4|t-1|和4|t-1|<ε都能成立，这就可以证明了结论．

(2)当x→∞时，函数f(x)的极限．

例如函数，“当|x|无限增大时，y无限地接近于1”是指“当|x|无限增大时，|y-1|可以任意小．”即对于任意给定的ε>0，要使，只要取就可以了．亦即当x进入区间时，|y-1|<ε恒成立．这时我们就称x趋于无穷大时，以1为极限．

定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数M，使得当|x|>M时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称当x趋于无穷大时，函数f(x)以常数A为极限．记作或f(x)→A(x→∞)．

注意：定义中ε刻画f(x)与A的接近程度，M刻画|x|充分大的程度；ε是任意给定的正数，M是随ε而确定的．

6．无穷大量有哪些运算法则?

(1)设和都是正(或负)无穷大量，那么它们的和也是正(或负)无穷大量．

证明：我们只证明正无穷大量的情形．对任意给定的C>0，因，所以存在，当时有，又因，所以还存在，当时，有现在取，那么当n>N时，就有，这便证明了． 要注意的是，任意两个非同号的无穷大量之和可能不是无穷大量，例如{n}和{-n}都是无穷大量，但它们的和是0，0，…，显然不是无穷大量．

(2)设是无穷大量，而是有界数列(后面有对有界数列的说明)，那么它们的和是无穷大量．

(3)设是无穷大量，又设数列具有以下特性，存在某个N，当n>N时，有，那么它们的乘积是无穷大量．

证明：对任意给定的C>0，由于，故存在，当时，有．又因为当n>N时，有，这时取．当时，就有，而δ>0是一个定数，这就证明了

推论：设是无穷大量，收敛于a(a≠0)，那么它们的乘积是无穷大量．

例　 设

思路启迪　 和前面的例题一样，原极限式的分子和分母都不存在极限，所以应先将其变形，化成极限可求的情形．

规范解法 我们可以把写成：

因为，又因为，所以，由推论得.将这个例子和前面的例子合并起来，我们便得到这里当然要假定

点评　 以后碰到类似求

的问题，可以直接套用最后的结论.

5．无穷大量与无穷小量有什么关系?

无穷大量和无穷小量之间有着密切的关系，可以用下面的定理表达出来．

定理：若为无穷大量，则它的倒数所成的数列为无穷小量．反之，若为无穷小量，且，则它的倒数所成的数列为无穷大量．

证明：因是无穷大量，根据定义，对任意给定的C>O，总可找到正整数N，当n>N时，有，从而有因为C是任意的，所以也是任意的，于是就证明了是无穷小量．定理的第二部分可以同样证明．

4．什么叫无穷小量,无穷大量?

设是一个数列，若对于任意给定的ε>0，总存在正整数N，当n>N时，,则称为无穷小量，记为或．要注意的是不能把无穷小量理解为很小的量．

设是一个数列，如果对任意给定的C>O，总存在正整数N，当n>N时必有我们就称是一个无穷大量，记为，或．要注意的是无穷大量是一个变量，在它的变化过程中，其绝对值随着n的增大而无限制增大，切不可把它和很大的量混淆起来．

无穷大量的几何解释：所谓是无穷大量，就是对任意给定的两个开区间(R，+∞)及(-∞，R)，一定有这样的一项(第N项)，自这项以后的一切项(即n>N的)全部都落在这两个开区间内，如图2-2

对于无穷大量，有时我们还要从变量的变化趋势是保持正号还是保持负号来对无穷大量加以区分，有：

(1)正无穷大量：设是无穷大量，并且自某项N以后(即n>N)，有，我们就说是正无穷大量，记为或

正无穷大量也可以这样叙述：对任意给定的C>0，总存在N，当n>N时有，就称是正无穷大量．

(2)相仿地可以给出负无穷大量的概念．

3．收敛数列是否可以进行四则运算?

可以．若数列与皆收敛(数列与的极限存在)，则可以对它们进行加、减、乘、除的四则运算．我们看以下三个运算法则：

若数列与皆收敛，则数列也收敛，且

若数列与皆收敛，则数列也收敛，且

若数则，皆收敛，且则数列也收敛，且

这三个运算法则指出：若两个数列收敛，先对它们进行四则运算再进行极限运算等于先对数列进行极限运算再进行四则运算．这表明四则运算与极限运算是可以交换次序的．这两种不同的运算交换次序将给计算极限带来很大的方便，我们可以利用这三个运算法则计算以下几道例题．

例1　 考察其中k，都是正整数，并且是都

思路启迪　 原极限式中分子与分母各项式的极限都不存在，所以应将其变形，变成分子与分母极限都存在的形式．

规范解法　

应用和与差的运算，得：

再应用除法运算，得：

例2 　设

思路启迪　 由于的极限都不存在，所以应先将变形，使之变成极限可求的数列．

规范解法

因为．用除分子和分母，得，而，由得知，再应用除法运算，即求得

2．数列极限的几何意义是什么?

学习数列极限的几何解释，将有助于我们对数列极限概念有更深的理解．由于数列的每一项在数轴上可以用一个点来表示，因而数列的每一项在数轴上就对应一个点列．先把数列的每一项和A在数轴上对应的点表示出来，再作出以点A为中心，ε为半径的开区间(A-ε，A+ε)．由于不等式等价于，所以数列极限精确定义的几何表示为：数列以A为极限，就是对任意给定的一个开区间(A-ε，A+ε)，第N项以后的一切数全部落在这个区间内，如图2-1：

(以后的一切项全部落在有阴影的区间中．)图上的那个开区间(A-ε，A+ε)，我们有时也称它是A点的ε邻域，记为O(A，ε)．这样．的定义可以用邻域把它叙述出来：对任意给定的邻域O(A，ε)，一定存在正整数N，当n>N时，．这个定义和刚才已经给出的定义是一样的，这是因为和是一回事．

1．什么是数列的极限?

在引入数列极限的精确定义之前，我们先看一句中国古语：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是说：“有一根一尺长的木棒，每天截下前一天留下的一半，永远也截不完．”

我们来考察每天所剩余的木棒长度如何随着天数的改变而变化．因为日取其半，所以第1天剩余的木棒长度为，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒长度为，依此类推，第n天剩余的木棒长度为

这个式子反映了每天所剩余的木棒长度随着天数改变而变化的规律．它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，剩余木棒长度以0为极限，并记为．

我们又以另一方面考察，截下的木棒总长度如何随着天数的改变而变化．第1天截下的木棒总长度为，到第2天截下的木棒总长度为，依此类推，到第n天截下的木棒总长度为．这个式子就反映了截下的木棒长度如何随着天数而改变的变化规律．它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，截下的木棒总长度无限接近于常数1，这时我们就说，当天数n趋向于无穷大时，截下的木棒总长度以1为极限，并记为如果我们把每天所剩余的木棒长度数值与截下的木棒总长度数值分别依次排列起来，那么可以得到两个数列：

这时(1)式和(2)式就分别是和的数列展开式．这两个数列中的项具有这样的变化趋势：当项数n无限增大时，数列(1)中的项无限接近于常数0，而数列(2)中的项无限接近于常数1，这时我们就说数列(1)以0为极限，而数列(2)以1为极限．

从上面两个具体数列极限的例子的共同特点，可以抽象出数列极限的描述性定义：

如果数列中的项具有这样的变化趋势：当n无限增大时，项无限接近某一个常数A，那么我们就说，数列以常数A为极限，且记为

关于数列极限概念的这种描述，只能算直观的描述，虽然有直观易懂的特点，但在运用极限进行推理时将会碰到困难，且利用“n无限增大”和“无限接近于某一个常数A”这些未加说明的直观描述来判断，在逻辑上是有毛病的，也容易发生错误，所以还必须对数列极限作确切的刻画，把直观描述上升为精确的定义．

数列极限的精确定义：

上面关于数列极限的直观描述中，有一个涉及到极限本质的问题，这就是：“无限接近于常数A”的真正含义是什么?弄清这点是掌握数列极限概念的关键，用句俗话来说，“无限接近于常数A”的意思是：“可以任意地靠近A，希望有多近就能有多近，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样近．”换句话来说，就是指：“距离可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样小．”现拿数列来说明，若取作标准,那么只要n>3，就有；如果认为还不够小，要选作标准，那么只要n>6,就有；如果嫌仍不够小，要选更小的作标准，那么只要n>9，就有；(如果想选再小的作标准，那么只要n>13，就有.)总之，任意给出一个无论多么小的正数ε作标准，只要这个ε一经给定，那么对数列来说，总可以确定一项(或者说总存在一项，设为第N项)．使得随后的所有项(即满足n>N的一切)，都有．上述过程可以概括在如下的表格中：

给定正数	总存在一个项数	使得当…时	都有
	3	n>3
	6	n>6
	9	n>9
	13	n>13
…	…	…	…
ε	N	n>N

这个表格的最后一行是值得我们注意的，它把数列“无限接近于1”的本质确切地刻画出来了，把它概括为一般情形，就得到用ε和N描述的数列极限的精确定义(简称为“ε-N”定义)：

设有数列，并设A是一个常数．如果任意给定一个(无论多么小的)正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，都有成立，则称数列以常数A为极限，且记为或者记为．如果数列不存在极限，则称数列发散．[注：①ε是希腊字母，读作['epsiln]；②是拉丁文(极限)一词的前三个字母，通常按英文limit(极限)一词读音．]

现在我们对极限的定义作几点说明：

(1)关于正数ε，定义中的正数ε是一个距离指标，用来刻画与A的接近程度．ε具有二重性：①是任意性，即ε可以根据需要任意选取，这样，由不等式才能表明数列无限接近于a；②是相对固定性，ε虽然可以任意给定，但一经给定就相对固定下来，作为一个固定的正数看待．正数ε的二重性体现了一个数列逼近它的极限时要经历一个无限过程(这个无限过程通过ε的任意性来体现)，但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过ε的相对固定性来体现)．

(2)定义中的正整数N是一个特定的项数，对于这个项数，重要的是它的存在性，它是在ε固定后才能确定的，所以它依赖于ε．大体上说来，ε变小时，N就变大，所以可以把N看成是ε的函数．要注意，对于一个固定的ε来说，合乎定义要求的正整数N不是惟一的．例如数列的极限为0，即，取定存在自然数，当n>100时有，显然，对取定的，比100大的任何一个自然数都能起到的作用．如取，当，当然也有一般情况，对任意ε>0，总存在自然数N，当n>N时，有，于是当时，当然也有.由此可见，在极限的定义中，“总存在自然数N”这段话，在于强调自然数N的存在性．因此，在极限的证明题中，常取较大的自然数N．此外，定义中的不等式指的是下面一串不等式：….定义要求这一串不等式都成立．至于下面N个不等式，并不要求它们一定成立：

(3)若ε是任意给定的数，不难看到2ε，5ε，也都是任意给定的数．尽管它们在形式上与ε有差异，但在本质上它们与ε起同样的作用．今后在极限的证明题中，常应用与ε等价的其他形式．

2．学好本章知识的关键在哪里?

学好本章的关键就在于理解数列极限和函数极限的概念．只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关极限的问题．

[经点答疑]

1．本章学习的目标是什么?

(1)从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，并了解数列极限的ε-N定义；掌握数列极限的四则运算法则，会用它求一些数列的极限．

(2)从函数的变化趋势理解函数的极限概念，知道基本初等函数在其定义域内每一点的极限值等于该点的函数值；掌握极限的四则运算法则；了解两个重要极限．

(3)了解函数在某一点处连续的意义和初等函数在定义域内每点处都连续；会从几何直观理解闭区间上连续函数有最大值与最小值．

6．连续函数有哪些性质?

若函数f(x)和g(x)均在点处连续，则函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)在点处也连续．

若函数y=f(u)在点处连续，在点连续，且，则复合函数在点连续．若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调、连续，且f(a)=α，f(b)=β，则其反函数在区间[α，β]或[β，α]上单调、连续．

基本初等函数(包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数)在它们各自的定义域上皆连续.

由函数在一点处连续的定义及，有．这就是说，对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，

例　 求

思路启迪　 由于函数y=sinx是初等函数，所以它在其定义域(-∞，+∞)上是连续函数，这样就可以利用这个等式．

规范解法　 因已知y=sinx在实数域上的任意一点都连续，所以有

有时我们只讨论函数f(x)在的左侧或右侧的连续情况，有下面的左、右连续的概念：

定义：若，称函数f(x)在左连续．若，称函数f(x)在右连续．显然，函数f(x)在连续的充分必要条件是，函数f(x)在既左连续又右连续．