2．一般数学表达式：

一：复习要点

1．定律内容:相互作用的几个物体组成的系统，如果不受外力作用，或者它们受到的外力之和为零，则系统的总动量保持不变。

10、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s²的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。试求：

(1)　　　　　　　 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

(2)　　　　　　　 什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？

解析：解法一：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值。当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最大，有，所以，　　

解法二：用数学求极值方法来求解

(1)　　　 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远，

因为

所以，由二次函数求极值条件知，时，最大

即

(2)汽车追上自行车时，二车位移相等，则

　 ,　

解法三：用相对运动求解更简捷

选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对此参考系的各个物理量为：

初速度v₀ = v_汽初－v_自 =(0－6)m/s　 = －6m/s

末速度v_t = v_汽末－v_自 =(6－6)m/s　 = 0

加速度 a = a_汽－a_自 =(3－0)m/s²　 = 3m/s²

所以相距最远 s=　 =－6m(负号表示汽车落后)

解法四：用图象求解

(1)自行车和汽车的v-t图如图，由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即斜线部分)达最大，所以

t=v_自/a=s=2s

△s= vt－at²/2 =(6×2－3×2²/2)m= 6m

(2)由图可看出：在t时刻以后，由v_自或与v_汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时，t’= 2t = 4s，v’= 2v_自=12m/s

答案 (1)2s 6m　　 (2)12m/s

8、摩托车在平直公路上从静止开始起动，a₁=1.6m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a₂=6.4m/s2，直到停止，共历时130s，行程1600m。试求：

(1)　　　 摩托车行驶的最大速度v_m；

(2)　　　 若摩托车从静止起动，a₁、a₂不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？

分析：(1)整个运动过程分三个阶段：匀加速运动；匀速运动；匀减速运动。可借助v-t图象表示。

(2)首先要回答摩托车以什么样的方式运动可使得时间最短。借助v-t图象可以证明：当摩托车以a₁匀加速运动，当速度达到v^/_m时，紧接着以a₂匀减速运动直到停止时，行程不变，而时间最短

解：(1)如图所示，利用推论v_t²-v₀²=2as有：+(130-)v_m+=1600.其中a₁=1.6m/s²,a₂=6.4m/s².解得：v_m=12.8m/s(另一解舍去).

(2)路程不变，则图象中面积不变，当v越大则t越小，如图所示.设最短时间为t_min，则t_min=　 ①=1600　 ②

其中a₁=1.6m/s²,a₂=6.4m/s².由②式解得v_m=64m/s，故t_min=.既最短时间为50s.

答案：(1)12.8m/s　 (2)50s

9一平直的传送以速率v=2m/s匀速行驶，传送带把A处的工件送到B处，A、B两处相距L=10m，从A处把工件无初速度地放到传送带上，经时间t=6s能传送到B处，欲使工件用最短时间从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少应多大？

解析：物体在传送带上先作匀加速运动，当速度达到v=2m/s后与传送带保持相对静止，作匀速运动.设加速运动时间为t，加速度为a，则匀速运动的时间为(6-t)s，则：

v=at　 ①　

s₁=at²　 ②

s₂=v(6-t) 　③

s₁+s₂=10　 ④

联列以上四式，解得t=2s,a=1m/s²

物体运动到B处时速度即为皮带的最小速度

由v²=2as　 　得v=m/s

传送带给物体的滑动摩擦力提供加速度，即此加速度为物体运动的最大加速度.要使物体传送时间最短，应让物体始终作匀加速运动

7、天文观测表明，几乎所有远处的恒星(或星系)都在以各自的速度背离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度(称为退行速度)越大；也就是说，宇宙在膨胀，不同星体的退行速度v和它们离我们的距离r成正比，即v=Hr。式中H为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定，为解释上述现象，有人提供一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的，假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观测一致。

　 由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄T，其计算式如何？根据近期观测，哈勃常数H=3×10^-2m/(s 光年)，其中光年是光在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为多少年？

解析：由题意可知，可以认为宇宙中的所有星系均从同一点同时向外做匀速直线运动，由于各自的速度不同，所以星系间的距离都在增大，以地球为参考系，所有星系以不同的速度均在匀速远离。则由s=vt可得r=vT，所以，宇宙年龄：T===

若哈勃常数H=3×10^-2m/(s 光年)

则T==10¹⁰年

思考：1 宇宙爆炸过程动量守恒吗？如果爆炸点位于宇宙的“中心”，地球相对于这个“中心”做什么运动？其它星系相对于地球做什么运动？

　 2 其它星系相对于地球的速度与相对于这个“中心”的速度相等吗？

6、一物体在A、B两点的正中间由静止开始运动(设不会超越A、B)，其加速度随时间变化如图所示。设向A的加速度为为正方向，若从出发开始计时，则物体的运动情况是(　　　 )

A 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末静止在原处

B 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末静止在偏向A的某点

C 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末静止在偏向B的某点

D 一直向A运动，4秒末静止在偏向A的某点

解析：根据a-t图象作出其v-t图象，如右图所示，由该图可以看出物体的速度时大时小，但方向始终不变，一直向A运动，又因v-t图象与t轴所围“面积”数值上等于物体在t时间内的位移大小，所以4秒末物体距A点为2米

答案：D

5、在轻绳的两端各栓一个小球，一人用手拿者上端的小球站在3层楼阳台上，放手后让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为T，如果站在4层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地时间差将　　 (　　　　 )

A 不变 　　　　　B 变大　 　　　　　C 变小　　 　　　　D 无法判断

解析：两小球都是自由落体运动，可在一v-t图象中作出速度随时间的关系曲线，如图所示，设人在3楼阳台上释放小球后，两球落地时间差为△t₁，图中阴影部分面积为△h，若人在4楼阳台上释放小球后，两球落地时间差△t₂，要保证阴影部分面积也是△h；从图中可以看出一定有△t₂〈△t₁

答案：C

4、汽车甲沿着平直的公路以速度v₀做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车，根据上述的已知条件(　　 )

A.　　 可求出乙车追上甲车时乙车的速度

B.　　 可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程

C.　　 可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间

D.　　 不能求出上述三者中任何一个

分析：题中涉及到2个相关物体运动问题，分析出2个物体各作什么运动，并尽力找到两者相关的物理条件是解决这类问题的关键，通常可以从位移关系、速度关系或者时间关系等方面去分析。

解析：根据题意，从汽车乙开始追赶汽车甲直到追上，两者运动距离相等，即s_甲=

=s_乙=s，经历时间t_甲=t_乙=t.

那么，根据匀速直线运动公式对甲应有：

根据匀加速直线运动公式对乙有：，及

由前2式相除可得at=2v₀，代入后式得v_t=2v₀，这就说明根据已知条件可求出乙车追上甲车时乙车的速度应为2v₀。因a不知，无法求出路程和时间，如果我们采取作v－t图线的方法，则上述结论就比较容易通过图线看出。图中当乙车追上甲车时，路程应相等，即从图中图线上看面积s_甲和s_乙，显然三角形高vt等于长方形高v₀的2倍，由于加速度a未知，乙图斜率不定，a越小，t越大，s也越大，也就是追赶时间和路程就越大。

答案：A

3、汽车原来以速度v匀速行驶,刹车后加速度大小为a,做匀减速运动,则t秒后其位移为(　　 )

A　 　　B　 　　　　C 　　D　 无法确定

解析:汽车初速度为v，以加速度a作匀减速运动。速度减到零后停止运动，设其运动的时间t^，=。当t≤t^，时，汽车的位移为s=；如果t＞t^，，汽车在t^，时已停止运动，其位移只能用公式v²=2as计算，s=

答案：D

2、 一个物体在做初速度为零的匀加速直线运动，已知它在第一个△t时间内的位移为s，若 △t未知，则可求出　　　　　　　 (　 )

A．　 第一个△t时间内的平均速度

B．　 第n个△t时间内的位移

C．　 n△t时间的位移

D．　 物体的加速度　

解析：因=，而△t未知，所以不能求出，故A错.因有，(2n-1)s，故B正确；又s∝t²　 所以⁼n²，所以s_n=n2s，故C正确；因a=，尽管△s=s_n-s_n-1可求，但△t未知，所以A求不出，D错.

答案：B、C