例1(优化设计P178例1)、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
解法一： 问题分成三类：(1)甲乙二人均不参加，有 种；(2)甲、乙二人有且仅有1人参加，有2 ( － )种；(3)甲、乙二人均参加，有 ( －2 + )种，故共有252种．
解法二：六人中取四人参加的种数为 ，从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数
－ ＝252种
[评述]对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．
例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生．
(2)某女生一定要担任语文科代表．
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．
(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．
解：(1)先取后排,有 种,后排有 种,共有 ＝5400种．
(2)除去该女生后先取后排： 种．
(3)先取后排,但先安排该男生： 种．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有 种,再安排该男生有 种,其余3人全排有 种,共 =360种．
[思维点拨]特殊元素或特殊位置首先考虑
例3(优化设计P178例2)、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有 种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有 种，前4次测试中的顺序有 种，由分步计数原理即得： ( ) ＝576。
[评述]本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列
例4(优化设计P178例3)、在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?
解: 依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄。分3种情况：(1)若A、B之间隔6垄，这样的选垄方法有3A 种.
(2)若A、B之间隔7垄，这样的选垄方法有2A 种.
(3)若A、B之间隔8垄，有A 种方法.
根据分类计数原理可有3A +2A +A ＝6A ＝12种不同的选垄方法.
例5(优化设计P178例4)、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法
②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法
③两人都在前排：
两人都在前排左边的四个位置：
|
|
乙可坐2个位置 |
|
乙可坐1个位置 |
|
2+2＝4 |
1+1＝2 |
此种情况共有4+2＝6种方法
因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6+6＝12种方法
④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右
∴ 甲左乙右总共有 种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192+32+12+110＝346种
解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻，9号座位与10号座位不算相邻，共有 种
备用题：
例6、有6本不同的书
(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？
(5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有 (种)。
(2)6本书平均分成3堆，用上述方法重复了 倍，故共有 (种)。
(3)从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有 (种)
(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有 (种)。
(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有 (种)。
(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有 (种)。
例7、(1)10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？
(2)10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
解：(1)如果按指标的个数进行分类，讨论比较复杂，可构造模型，即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即 即为所求。
(2)先拿3个指标分别给二班1个，三班2个，则问题转化为7个优秀名额分给三个班，每班至少一个，同(1)知 即为所求。