(13)执行右图所示的程序框图,若输入
,则输出
的值为
.
[答案]![]()
[解析]当x=10时,y=
,此时|y-x|=6;
当x=4时,y=
,此时|y-x|=3;当x=1时,y=
,此时|y-x|=
;
当x=
时,y=
,此时|y-x|=
,故输出y的值为
。
[命题意图]本题考查程序框图的基础知识,考查了同学们的试图能力。
[答案]![]()
[解析]由题意,设所求的直线方程为
,设圆心坐标为
,则由题意知:
,解得
或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以
,故圆心坐标为
(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有
,即
,故所求的直线方程为
。
[命题意图]本题考查了直线的方程、
点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
(18)(本小题满分12分)
已知等差数列
满足:
,
,
的前n项和为
.
(Ⅰ)求
及
;
(Ⅱ)令bn=
(n
N*),求数列
的前n项和![]()
.
[解析](Ⅰ)设等差数列
的公差为d,因为
,
,所以有
,解得
,
所以
;
=
=
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,所以bn=
=![]()
=
,
所以
=
=![]()
,
即数列
的前n项和
=
。
[命题意图]本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
(19)(本小题满分12分)
如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,
ABC=45°,AB=2
,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.
(Ⅰ)求证
:平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求直线PB与
平面PCD所成角的大小;
(Ⅲ)求四棱锥
P-ACDE的体积.
[解析](Ⅰ)证明:因为
ABC=45°,AB=2
,BC=4,所以在
中,由余弦定理得:
,解得
,
所以
,即
,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥
,
又PA
,所以
,又AB∥CD,所以
,又因为
,所以平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作
于H,则
,又AB∥CD,AB
平面
内,所以AB平行于平面
,所以点A到平面
的距离等于点B到平面
的距离,过点B作BO⊥平面
于点O,则
为所求角,且
,又容易求得
,所以
,即
=
,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为
;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知
,所以
,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得
,AC=
,所以四边形ACDE的面积为
,所以
四棱锥
P-ACDE的体积为
=
。
![]()
![]()
![]()
![]()
=
,
所以
的分布列为
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
数学期望
=
+
+4![]()
=
。
[命题意图]本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
(21)(本小题满分12分)
如图,已知椭圆
的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形
的周长为![]()
.一等轴双曲线的顶
点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
![]()
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线
、
的斜率分别为
、
,证明
;
(Ⅲ)是否存在常数
,使得
恒成立
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.![]()
[解析](Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为![]()
,得
,又![]()
,所以可解得
,
,所以
,所以椭圆的标准方程为
;所以椭圆的焦点坐标为(
,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶
点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为
。
[命题意图]本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
(22)(本小题满分14分)
已知函数![]()
.
(Ⅰ)当
时,讨论
的单调性;
(Ⅱ)设
当
时,若对任意
,存在
,使
,求实数
取值范围.![]()
(Ⅱ)当
时,
在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意
,
有
,又已知存在
,使
,所以
,
,
即存在
,使
,即
,即![]()
,
所以
,解得
,即实数
取值范围是
。
[命题意图]本题将导数、二次函数、不等式知识有机的
结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了
同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出
的最小值、利用二
次函数知识或分离常数法求出
在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数。