3、判断下列命题是否正确

(1)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。

(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如 , ,可以看出函数 与 都是定义域上的函数,它们的差只在区间[-1,1]上有定义且 ,而在此区间上函数 既是奇函数又是偶函数。

(3) 是任意函数,那么 与 都是偶函数。

此命题错误。一方面,对于函数 , 不能保证 或 ;另一方面,对于一个任意函数 而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数 是偶函数。

(4)函数 是偶函数,函数 是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。

(5)已知函数 是奇函数,且 有定义,则 。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

(6)已知 是奇函数或偶函数,方程 有实根,那么方程 的所有实根之和为零;若 是定义在实数集上的奇函数,则方程 有奇数个实根。

此命题正确。方程 的实数根即为函数 与 轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若 ,则 。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有 。故原命题成立。

 0  256704  256712  256718  256722  256728  256730  256734  256740  256742  256748  256754  256758  256760  256764  256770  256772  256778  256782  256784  256788  256790  256794  256796  256798  256799  256800  256802  256803  256804  256806  256808  256812  256814  256818  256820  256824  256830  256832  256838  256842  256844  256848  256854  256860  256862  256868  256872  256874  256880  256884  256890  256898  447090 

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