⒗⑴根据余弦定理和倍角公式，……3分，所以或……5分，……6分．

⑵由得……8分，

即……9分，解……10分，得……12分．

⒘⑴依题意，……1分，其中、，……2分，即、所满足的约束条件为……3分，它的所有可行解为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、……6分．

⑵处理框①中的语句是……8分，判断框②中的语句是或

……10分，单人房人均订金为元、双人房人均订金元，所以旅行团总人数最多且订单人房最多时，需要交的订金最多……11分，(元)……12分．

⒙⑴连接，在中，由余弦定理得……1分，由勾股定理逆定理得，，又因为，，，所以……2分，因为，所以，同理，所以是平行四边形……3分，所以，，所以……4分，连接，因为，所以是平行四边形，，因为……5分，所以，，所以……6分．

⑵连接，因为、，，所以……7分，因为，，，所以……8分，连接，则，是与平面所成的角……9分，因为，所以……10分．

⑶四边形在对角面内的正投影为平行四边形，且点的正投影为点

……11分，所以底面积……12分，高……14分，所以棱锥的体积……14分．

方法二：⑴连接，在中，由余弦定理得……1分，由勾股定理逆定理得，，又因为，所以以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……2分，则、、……3分，设平面的一个法向量为，则，…4分，取得…5分，平面的一个法向量为，因为，所以……6分．

⑵设，因为，所以，同理，所以是平行四边形……7分，所以，即，解得……8分，又，所以……9分，设与平面所成角为，则……10分．

⒚⑴解得、……2分，解得……4分，所以，，……6分，所以椭圆的方程是……7分．

⑵根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为：……9分，由得……10分，由……11分，解得……12分，正方形四边所在直线为，……14分．

⒛⑴时，……1分，在点附近，，……2分，所以，……3分，所求切线方程为，即……4分．

⑵即……(＊)

时，(＊)等价于，对任意恒成立……5分．

时，(＊)等价于，即……6分，，等号当且仅当时成立…7分，，在单调递增，……8分，所以……9分．

时，(＊)等价于，即或……10分，，等号当且仅当即时成立……11分，所以……12分，在时的取值范围为，所以恒成立的的解集为空集……13分．

所以，常数的取值范围为……14分．

21．⑴，……1分，……2分．

⑵设，、是常数……3分，代入得

，解……4分，

得，即，……5分．

若，则是首项为、公比为的等比数列……6分，所以的前项和……7分，数列的前项和为，所以……8分．

若，则，，……分．

综上所述，，……10分．

⑶……11分，

，，，……12分，

当时……13分，

所以，当时，有，的最小项是；当时，的最小项是、和；当时，的最小项是；当时，的最小项是和；当时，的最小项是……14分．

⒗(本小题满分12分)中，角、、所对的边长分别为、、，已知

．

⑴求角；

⑵若，，求．

⒘(本小题满分12分)旅行社为某旅行团预订单人房和双人房两种住房，每间单人房订金元、每间双人房订金元，每种房至少预订两间(含两间)，旅行团不超过13人．

⑴设旅行社为这个旅行团预订了单人房间、双人房间，一共需要交订金元．写出的解析式和、所满足的约束条件，并求它的所有可行解，、、……；

⑵图3是根据⑴计算这个旅行团最多需交订金(单位：元)的程序框图．则处理框①和判断框②中的语句分别是什么？输出的是多少？

⒙(本小题满分14分)如图4，四棱柱的底面是平行四边形，，，，，、分别是侧棱、上一点，，，平面与侧棱相交于．

⑴证明：；

⑵求线段与平面所成角的正弦值；

⑶求以为顶点，四边形在对角面

内的正投影为底面边界的棱锥的体积．

⒚(本小题满分14分)已知圆：与轴相交于、，与轴正半轴相交于，以、为焦点，且经过点的椭圆记为．

⑴求椭圆的方程；

⑵根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆外切正方形四边所在直线的方程．

⒛(本小题满分14分)已知函数，是常数．

⑴若，求在点处的切线；

⑵是否存在常数，使对任意恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．

21.(本小题满分14分)已知数列满足：，，其中是常数，．

⑴若，求、；

⑵对，求数列的前项和；

⑶若，讨论的最小项．

理科数学评分参考

㈠必做题(9-13题)

⒐某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为、、，现要从中抽取名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取　　　　　 人．

⒑下列命题中，真命题是　　　　　　 (将真命题前面的编号填写在横线上)．

①已知平面、和直线、，若，且，则．

②已知平面、和两异面直线、，若，且，，则．

③已知平面、、和直线，若，且，则．

④已知平面、和直线，若且，则或．

⒒由直线与曲线所围图形的面积　　　　　 ．

⒓函数的定义域为　　　　　 ．

⒔产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数、的分布列分别如下：

两台机床中，较好的是　　　　 ，这台机床较好的理由是　　　　 ．

㈡选做题(14-15题，考生只能从中选做两题)

⒕(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是(是常数，是参数)，若曲线与轴相切，则　　 ．

⒖(几何证明选讲选选做题)如图2，中，，

，圆经过、且与、相交于、．

若，则　　 ，圆的半径　　 ．

⒈已知是复平面内一个平行四边形，对应的复数为，对应的复数为，其中为虚数单位．则对应的复数为

A.　　 　B.　　 　C.　　 　　D.

⒉已知集合，，则

A.　　　　　　 B.

C.　　 　　　　D.

⒊已知的最大值为，在区间上，

函数值从减小到，函数图象(如图1)与轴的交点

坐标是

A.　 　B.　 　C.　 　　D.以上都不是

⒋经过的圆心，且与向量垂直的直线的方程是

A.　 B.　 　C.　 D.

⒌已知，，，则的取值范围是

A.　　 B.　　 C.　　 　D.

⒍从一个三棱柱的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是

A.　　 　B.　　 　C.　　 　　D.

⒎若，则

A.　　 　B.　　 　C.　　 　　D.

⒏用表示、、三个数中的最大值，则在区间上的最大值和最小值分别是

A．，　　　　 　B．，

C．，　　　　　　 D．，

24．(20分)

如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距为d=1.0m，导轨平面与水平面夹角为α＝30°，

导轨上端跨接一定值电阻R=1.6Ω，导轨电阻不计，整个装置处于与导轨平面垂直且向上的

匀强磁场中，磁感应强度大小为B=1.0T。一根与导轨等宽的金属棒ef垂直于MN、PQ静止

放置，且与导轨保持良好接触。金属棒质量m=0.1kg、电阻r=0.4Ω，距导轨底端S₁=3.75m。

另一根与金属棒ef平行放置的绝缘棒gh长度也为d，质量为，从导轨最低点以速度v₀=10m/s沿轨道上滑并与金属棒发生正碰(碰撞时间极短)，碰后金属棒沿导轨上滑S₂=0.2m后再次静止，此过程中电阻R上产生的电热为Q=0.2J。已知

两棒与导轨间的动摩擦因数均为μ=，g取10m/s²，求：

(1)绝缘棒gh与金属棒ef碰前瞬间绝缘棒的速率；

(2)两棒碰后，安培力对金属棒做的功以及碰后瞬间金属棒的加速度；

(3)金属棒在导轨上运动的时间。

23．(18分)

如图所示，在绝缘的水平面上，相隔2L的AB两点固定有两个电量均为Q的正点电荷，C、O、D是AB连线上的三个点， O为连线的中点，CO=OD=。一质量为m、电量为q的带电物块以初速度v₀从C点出发沿AB连线向B运动，运动过程中物块受到大小恒定的阻力作用，但在速度为零时，阻力也为零。当物块运动到O点时，物块的动能为初动能的n倍，到达D点刚好速度为零，然后返回做往复运动，直至最后静止在O点。已知静电力恒量为k，求：

(1)AB两处的点电荷在C点产生的电场强度的大小；

(2)物块在运动中受到的阻力的大小；

(3)带电物块在电场中运动的总路程。

22．(16分)

如图所示，在高1.25m的水平桌面上，一质量为2.0kg的物块在10N的水平拉力作用下，在A处由静止开始向桌边边缘B运动， 2s末撤去水平拉力。物块运动到桌面B端后飞出落在水平地面上。已知物块与桌面之间的动摩擦因数μ=0.3，AB之间的距离为6m，不计空气阻力，g=10m/s²。求：

(1) 撤去水平拉力前物块加速度的大小；

(2)物块离开桌面边缘B点时速度的大小；

(3)物块落地点距桌面边缘B点的水平距离。

21．(18分)

(1)在物理实验中，把一些微小量的变化进行放大，是常用的物理思想方法。如图所示的四个实验，运用此思想方法的是　　　　　 　。(填相应符号)

(2) 一微安电表的满偏电流为500μA，若一个100Ω的电阻与此表并联，成为一个量程为1mA的毫安表，此微安表的内阻为　　　　 Ω。若将这个毫安表改装成量程为10V的电压表，应________联一个阻值为_______Ω的电阻。

(3)“探究加速度a与物体所受合力F及质量m关系”实验。

① 图a所示为实验装置图。图b为某次实验得到的一段纸带，计数点A、B、C、D、E间的时间间隔为0.1s，根据纸带可求出小车的加速度大小为　　　　 m/s²。(结果保留两位有效数字)

②保持小车质量不变，改变砂和砂桶质量，进行多次测量。根据实验数据做出了加速度a随拉力F的变化图线，如图c所示。图中直线没有通过原点，其主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　。

③保持砂和砂桶质量不变，改变小车中砝码质量，进行多次测量，分别得到小车加速度a与质量m及对应的的数据如表中所示：

实验次数	1	2	3	4	5	6	7	8
小车加速度a/m·s -2	1.90	1.72	1.49	1.25	1.00	0.75	0.50	0.30
小车和砝码质量m/kg	0.25	0.29	0.33	0.40	0.50	0.71	1.00	1.67
	4.00	3.45	3.03	2.50	2.00	1.41	1.00	0.60

a．请在坐标纸中画出图线；

b．根据作出的图像可以得到的结论是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

20．如图所示一轻质细绳一端系一质量为m的小球，绳的上端固定于O点。现用手将小球拉至水平位置(绳处于水平拉直状态)，松手后小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α。已知绳能承受的最大拉力为F，若想求出cosα值，你有可能不会求解，但是你可以通过一定的物理分析，对下列结果的合理性做出判断。根据你的判断cosα值应为

A．cosα =　　　 B．cosα =

C．cosα =　　　　 　D．cosα =

19．如图所示，在光滑的水平桌面上静止一质量为M的木块。现有A、B两颗子弹沿同一轴线，以水平速度v_A、v_B分别从木块两侧同时射入。子弹A、B在木块中嵌入深度分别为S_A和S_B。已知木块长度为L，S_A 〉S_B，且S_A+S_B〈 L，木块始终处于静止。则下列说法中正确的是

A．入射时，子弹A的速率等于子弹B的速率

B．入射时，子弹A的动能大于子弹B的动能

C．在子弹运动过程中，子弹A的动量大于子弹B的动量

D．在子弹运动过程中，子弹A受到的摩擦阻力大于子弹　

B受到的摩擦阻力