将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图2中，若AP₁=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AP₁的交点．当旋转角为多少度时，有△AP₁C∽△CP₁P₂？这时线段CP₁与P₁P₂之间存在一个怎样的数量关系？．

将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图l摆放。  

（1）将图l中△A₁B₁C绕点C顺时针转45°得到图2，点P_l是A₁C与AB的交点，求证：

（2）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转30°到△A₂B₂C（如图3），P₂是A₂C与AB的交点，线段CP₁与P₁P₂之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个等量关系式，并说明理由；

（3）将图3中线段CP₁绕点C顺时针旋转60°到CP₃（如图4）连结P₃P₂，求证：P₃P₂⊥AB。