如图：已知抛物线与轴交于，两点，与轴　交于点，为坐标原点．

(1）求三点的坐标；

(2）已知矩形的一条边在上，顶点分别在，上，设，矩形的面积为，求与的函数关系式，并指出的取值范围；

(3）当矩形的面积取最大值时，连结对角线并延长至点，使．

试探究此时点是否在抛物线上，请说明理由．

请阅读下列材料：
问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN=4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．