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2009年4月
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
三、解答题：本题共6小题，共75分．
16．解：(1) 
??????????????????????????????????????? 3分
∴ 
∵ 
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴ 
(2) 
????????????????????????????????????????????????????? 8分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴ 
?????????????? 13分
17．解：(1) 有两道题答对的概率为
，有一道题答对的概率为
??????????????????????????? 2分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????????????????? 7分
?????????????????????????????? 9分
??????????????????????????????? 11分
∴ 
的分布列为
35
40
45
50
P
???????????????????????????????????? 13分
18．(1) 证明：取CE中点M，则 FM
DE
∵ ABDE ∴ ABFM
∴ ABMF为平行四边形
∴ AF∥BM
又AF
平面BCE，BM
平面BCE
∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE ∴ 平面ABC
平面CDE = l
∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD
∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60
?????????????????????????????????? 8分
(3) 解：设B在平面AFE内的射影为
，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．
∴ BE与平面AFE所成角为
∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF
∵ BM∥平面AEF ∴ 
由△CGF∽△EDF，得
∴ 
而 
∴ 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
19．解：(1) 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
由
由
∴ 
上单调递减，在
上单调递增????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????? 6分
∵ 上递减 ∴ 
??????????????? 9分
设
∵ 
∴
上递减
∴ 
即 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：(1) B（0，? b），A（
，0），F（c，0），P（c，
）
∵ 
∴ D为线段FP的中点，
∴ D为（c，
）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∴ 
，∴ a = 2b，
∴ 
?????????????????????????????????????????????? 5分
(2) a = 2，则b = 1，B（0，?1） 双曲线的方程为
①
设M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）
由
由已知
???????????????????????????? 7分
设
整理得：
对满足
的k恒成立
∴ 
．
故存在y轴上的点C（0，4），使
为常数17．????????????????????? 12分
21．解：(1) 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
切线方程为
与y = kx联立得：
，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 由
??????????????????????????????????????????????????? 5分
两边取倒数得：
∴ 
∴ 
是以
为首项，为公比的等比数列（
时）
或是各项为0的常数列（k = 3时），此时an = 1
时
??????????????????????????????? 7分
当k = 3时也符合上式
∴
????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3) 作差得 
其中
由于 1 < k < 3，∴ 
∴ 
当
?????????????????????????????????????????????????? 12分
在一次数学与语文两门功课的联合考试中，备有6道数学题，4道语文题，共10道题可选择，要求学生从中任意选取5道题作答，答对其中4道或5道即为良好成绩，设随机变量ξ为所选5道题中语文题的个数．
(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；
(2)若学生甲随机选定5道题，且答对任意一道题的概率为0.6，求学生甲取得良好成绩的概率．(精确到小数点以后两位)
某大学高等数学老师上学期分别采用了A，B两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如图：（Ⅰ）从乙班这20名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率；
（Ⅱ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
| 甲班 | 乙班 | 合计 | |
| 优秀 | |||
| 不优秀 | |||
| 合计 |
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
（Ⅲ）从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记ξ为这2人所得的总奖金，求ξ的分布列和数学期望．
某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名不同的数学家与他们所著的4本不同的著作一对一连线，每连对一条得5分，连错扣2分．有一位参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．
(Ⅰ)求该参赛者恰好连对一条的概率；
(Ⅱ)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列及数学期望．
某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名不同的数学家与他们所著的4本不同的著作一对一连线，每连对一条得5分，连错得了2分．有一位参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．
(Ⅰ)求该参赛者恰好连对一条的概率；
(Ⅱ)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列及数学期望．
| 日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
| 昼夜温差x（°C） | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
| 就诊人数y（人） | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
（1）若从兴趣小组中推选出2人担任正、副组长．记这2人中“是女生”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
（2）若选取的是2至5月份的4组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得到的线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=
| |||||||||
|
. |
| y |
. |
| x． |