已知函数f(x)＝ln(x－1)＋ax．

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)求函数f(x)在[2，3]上的最大值；

(Ⅲ)当a＝1时，令g(x)＝f(e^x)，且存在x₀＞0，满足g(x₀)＝4x₀，证明：当x＞x₀时，g(x)＞4x．

已知函数f(x)＝ax＋lnx，a∈R

(Ⅰ)求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，如果存在曲线上的点Q(x₀，y₀)，且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的伴随切线．特别地，当x₀＝λx₁＋(1－λ)x₂(0＜λ＜1)时，又称l为P₁P₂的λ－伴随切线．

(ⅰ)求证：曲线y＝f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

(ⅱ)是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有－伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

对于函数f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x₀，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．

(1)当a＝2，b＝－2时，求f()x的不动点；

(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y＝kx＋是线段AB的垂直平分线，求实数b的最小值．

已知函数f(x)＝ln(x－2)－，其中a是不等于0的常数，e为自然对数的底数．

(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x₀处取得极值，且，而f(x)≥0在[e＋2，e²＋2]上恒成立，求实数a的取值范围．