如图，点、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与、轴的交点.

（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

    （2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F₀、F₁、F₂是相应椭圆的焦点,A₁、A₂和B₁、B₂分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A₁A₂的中点〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B₁、B₂或A₁处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足

（1）求双曲线G的渐近线方程

（2）求双曲线G的方程

（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴，如果S中垂直于l的平行弦的中点轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程。