Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1．
（1）求过点P(

1

2

，

1

2

)且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可．
（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（3）设出直线BC方程，用参数k表示

x1+x2

2

，

y1+y2

2

，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中点的轨迹方程．

解答：解：（1）设过点P(

1

2

，

1

2

)且被点P平分的弦与椭圆交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）点，
则

x1+x2

2

=

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

∵A，B在椭圆上，∴

(x1)2

2

+(y1)2=1①

(x2)2

2

+(y2)2=1②
②-①得，

x2-x1

2

+(y2-y1)=0

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

2(y2+y1)

=-

1

2

即，弦AB的斜率为-

1

2

∴方程为y-

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

）
即y=-

1

2

x+

3

4

（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），
则根据中点弦的斜率公式，有-

x

2y

=2
y=-

x

4

(-

4

3

＜x＜

4

3

)
（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程，消y，得（

1

2

+k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂=

2k(2k-1)

1 2 +k2

，y₁+y₂=

-2k+1

1 2 +k2

，
设弦BC中点坐标为（x，y），则x=

x1+x2

2

=

k(2k-1)

1 2 +k2

，y=

y1+y2

2

=

-2k+1

2( 1 2 +k2)

，
∴

x

y

=-2k
又∵k=

y-1

x-2

，∴

x

y

=-

2(y-1)

x-2

，整理得x²-2x+2y²-2y=0
当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点
∴所求弦BC中点的轨迹方程为x²-2x+2y²-2y=0．

点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．