已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ） 证明：

1

2-f(2)

+

1

3-f(3)

+…+

1

n-f(n)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）．
参考数据：ln2≈0.6931．

已知函数f（x）=alnx-x²，x=1是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），求证：

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．（参考数据：ln2≈0.7  e≈2.7）

（2013•凉山州二模）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），给出以下命题：
①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²：
②若直线y=kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线C；y=1nx-x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为

2

(1+ln2)．
以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号）

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）