Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）

• A．2

  e

  -1
• B．e²-

  1

  2

• C．2-ln2
• D．2+ln2

Answer 1

分析：令 y=e^a，则 a=lny，令y=ln

b

2

+

1

2

，可得 b=2ey-

1

2

，利用导数求得b-a取得最小值．

解答：解：令 y=e^a，则 a=lny，令y=ln

b

2

+

1

2

，可得 b=2ey-

1

2

，
则b-a=2ey-

1

2

-lny，∴（b-a）′=2ey-

1

2

-

1

y

．
显然，（b-a）′是增函数，观察可得当y=

1

2

时，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零点．
故当y=

1

2

时，b-a取得最小值为2ey-

1

2

-lny=2e0-

1

2

-ln

1

2

=2+ln2，
故选D．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题．此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点