（2012•汕头二模）在数列{a_n}中，a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设bn=

an•an+1

an + an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N^*）顺次为直线y=

x

4

+

1

12

上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…A_n（x_n，0），…（n∈N^*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N^*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：数列{y_n}是等差数列；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N^*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（Ⅰ） 求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一个常数．