Question

已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N^*）顺次为直线y=

x

4

+

1

12

上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…A_n（x_n，0），…（n∈N^*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N^*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：数列{y_n}是等差数列；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N^*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把B_n坐标代入直线方程可得yn=

n

4

+

1

12

，由等差数列定义可证；
（Ⅱ）由题意可得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*）①，又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）②，②-①得x_n+2-x_n=2，则奇数项、偶数项均构成等差数列，分别求出即可；
（Ⅲ）当n为奇数、当n为偶数时可分别求得|A_nA_n+1|，作x轴垂线，垂足为C_n，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，分n为奇数、偶数两种情况可求得a值；

解答：解：（Ⅰ）依题意有yn=

n

4

+

1

12

，于是yn+1-yn=

1

4

．
所以数列{y_n}是等差数列．
（Ⅱ）由A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形，得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*）①，
所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②
由②-①得x_n+2-x_n=2，
可知x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列．
那么得x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）
故xn=

n+a-1 (n为奇数) n-a (n为偶数)

；
（Ⅲ）当n为奇数时，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），所以|A_nA_n+1|=2（1-a）；
当n为偶数时，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），所以|A_nA_n+1|=2a；
作x轴垂线，垂足为C_n，则|BnCn|=

n

4

+

1

12

，
要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．
当n为奇数时，有2(1-a)=2(

n

4

+

1

12

)，即12a=11-3n．①
当n=1时，a=

2

3

；当n=3时，a=

1

6

；当n≥5，①式无解．
当n为偶数时，有12a=3n+1，同理可求得a=

7

12

．
综上所述，上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在直角三角形，此时a的值为

2

3

或

1

6

或

7

12

．

点评：本题考查等差数列与函数的综合，考查学生分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想，知识点较多，能力要求较高．